DOC《圆的标准方程》

圆的标准方程 一 教学目标 1.

知识与技能 :(1)掌握圆的标准方程及其推导过程;

(2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据条件写出圆的标准方程;

(3)利用圆的标准方程解决简单的实际问题. 2.过程与方法 (1)体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力;

(2)加强对待定系数法的运用,培养学生自主探究的能力;

3.情感态度与价值观: 让学生感受数学的现实美、抽象美,体会圆的标准方程形成过程的严谨美. 教学重点:圆的标准方程及其运用;

教学难点:圆的标准方程的推导,会根据不同的已知条件求圆的标准方程,选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 二 教学过程 温故知新 复习直线的方程和方程的直线这两个概念 求直线方程方法(突出待定系数法) 点点距离的公式 确定直线方程的要素(四种直线方程要素特征) 几何问题代数化(数形结合的思想) 设计意图:为借助平面直角坐标系,用代数的思想研究几何图形做铺垫 探究一: 圆的标准方程 思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线,在平面几何中,根据初中学习的圆的定义, 如何用集合语言描述以点A为圆心,r为半径的圆? 思考2:确定一个圆最基本的要素是什么? 思考3:设圆心坐标为A(a,b),圆半径为r,M(x,y)为圆上任意一点,根据圆的定义,圆心为A的圆的集合表示:P = { M | |MA| = r },那么点M的坐标x,y应满足什么关系? 探究活动:(1)如何在平面内刻画定点和定长? (2) 如何用集合语言表示圆的定义 (3)能用方程的语言来表示? 设计意图:引入坐标系来刻画定点、定长,借助两点间的距离公式,用集合语言来描述动点的轨迹,用符号语言来表达圆的方程,体现数形结合的思想. 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为,半径为.(其中都是常数,)设为这个圆上任意一点,那么点满足的条件是(引导学生自己列出) ,由两点间的距离公式让学生写出点适合的条件 化简可得: 圆的标准方程: 说明:(1)类似于三角形勾股定理(可避免学生将写成);

(2)有两个变量,形式都是与某个实数差的平方;

(3)含有三个参数. 思考4:那么确定圆的标准方程需要几个独立条件? 思考5:以原点为圆心,1为半径的圆称为单位圆,那么单位圆的方程是什么? 这个式子具有代表性,任一个圆上的点的坐标都可以表示成这种形式.其次再来考虑第二个条件,满足这个方程的是否一定在这个圆上呢? 只要)满足这个方程,则到的距离就等于,则这个点就一定在该圆上.通过以上两点的考证,得出了圆的方程:圆心在,半径为的圆的方程: 特别:当圆心在原点,半径为时,圆的标准方程为: 归纳:求圆的一般步骤为: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示圆上任意一点M的坐标;

(2)写出适合条件P的点M的集合;

(可以省略,直接列出圆方程) (3)用坐标表示条件P(M),列出方程;

(4)化方程为最简形式;

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是圆上的点(可以省略不写,如有特殊情况,可以适当予以说明) 探究二:点与圆的位置关系 思考6:在平面几何中,初中学过点与圆有哪几种位置关系? 如何确定的 思考7:在初中平面几何中,如何确定点与圆的位置关系? 思考8:在直角坐标系中,已知点M(x0,y0)和圆C:,如何判断点M在圆外、圆上、圆内? 思考题:集合{(x,y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2}表示的图形是什么? 探究三:圆的标准方程的应用 例1 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心C在直线上l:x -y +1=0,求圆心为C的圆的标准方程. 思考9:求圆的标准方程方法有哪些? 变式: 的三个顶点的坐标分别A(5,1)、B(7,-3)、C(2,-8),求它的外接圆的方程. 设计意图:是使"数形结合"思想的教学落到实处,同时培养学生的画图技能,充分利用圆的平面几何的性质,同时为圆的一般方程解法做铺垫. 课时小结 1.圆的标准方程 2.两要素圆心、半径 3.待定系数法,数形结合的思想 课时作业 P120:练习: 1,3. P124:习题4.1 A组:2,3,4.