DOC《一、选择题（每小题2分,共60分）》

得36. 解:(令) (令,即) . 37.设是由方程①所确定的隐函数,则. 解法一:令则;

;

故.所以, 解法二:①两边全微分,得即②将代入②得即所以, 38.设为从点到点再到点的折线,则. 解: . 39.微分方程的通解为 解:

(一)对应的特征方程为: ,其特征根为

(二)通解为: 40.幂级数①的收敛域为 解:

(一) 记,则级数①化为 .② 记, 所以,级数②的收敛半径是 又当时,级数②化为收敛;

又当时,级数②化为也收敛.所以级数②的收敛域是.

(二)由解得,故原级数的收敛域为 (1)如果,即时,则收敛;

(2)(1)如果,即时,则发散, 所以, (3)又在端点处发散. 所以,收敛域为

三、计算题(每小题5分,共45分) 41.已知①,求. 解:由①式得 ② 由②式即可算得 42.设函数由参数方程确定,其中是微分方程 在初始条件下的特解,求. 解:

(一)微分方程为可分离变量型,可转化为 ① ①两边积分得 ② 又将初始条件代入②,得,因此 ③

(二)

(三) . 43.设函数,其中具有二阶连续偏导数,求解:

(一)

(二) ,所以 44.计算反常积分 解: 所以 45.求曲线在点的切线. 解:方程组两边关于求导,得: ① 将点代入(1),得: 解之,有: 所以,切线向量为: 故曲线在点的切线为: 46.设函数在正半轴上有连续导数且若 在右半平面内沿任意闭合光滑曲线,都有 求函数 解:,都是右半平面上的连续函数,由于在右半平 面内沿任意闭合光滑曲线,都有 故有 即 化简,得(1) (1)为一阶线性微分方程,其通解为 (2) 代入条件,得故47.求幂级数的和函数. 解:

(一)记,,

则 ,故收敛半径为.收敛域为.

(二)记. 则.又. 所以 解法二:记. 所以 . 48.计算二重积分是第一象限中由直线和曲线所围成封闭区域. 解:因为二重积分的被积函数,它适宜于"先对,后对" ,故可用不等式表示为于是 49.求方程①的积分曲线,使其在点处与直线相切. 解:方程①的特征方程为,解之得,故方程①的通解为.② ③ 由题意知有.将条件分别代入②、③有 解得 所以.

四、应用题(每小题8分,共16分) 50.设三角形的边长分别为,其面积为,试求该三角形内一点到三边距离之乘积的最大值. 解:任取三角形内一点,设其距三边的距离分别为,则有 问题转化成求在下的最大值. 令, 令,解之得: 故 另解: 上述等式成立当且仅当又,所以,当且仅当时,等式成立. 51.平面图形由抛物线与该曲线在点处的法线围成.试求: (1)的面积;

(2)绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 解:(1)方程两边关于求导得 ① 将代入①式得.因此曲线在点处的法线斜率为 . 从而曲线在该点处法线方程为 ,即.② 求解方程组 得或 所以抛物线与其在曲线在该点处点处的法线的交点为 和③ 因此的面积为 .

(二)绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积为 .

五、证明题(9分) 52.证明:方程在内有且仅有两个根. 证明:

(一)令, 则;

;

故由零点定理知,方程在内至少有两个不相等的实根.

(二)又令,得唯一驻点 当时,;

而当时,故方程在内至多有两个实根 综合

(一)、

(二)知方程在内有且仅有两个根.