DOC《2015年全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案（湖北）》

2015年全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案(湖北) (时间:120分钟 满分:120分) 一.

选择题(每小题6分,共36分) 如图,将RtABC绕其直角顶点C按顺时针旋转90?后得到RtDEC,连接AD,若∠B=65?,则∠ADE=A. 30? B. 25? C. 20? D. 15? 2.有甲、乙、丙三个不透明布袋,里面都装有数量相同的玻璃球,这些球只有颜色不同.已知甲布袋中黑球占袋内总球数的的自变量x满足 是关于x的一元二次方程()的两根,则的值为( ). A. 的图象如图,则下面结论正确的是( A. a为x轴,c为y轴B. a为x轴,d为y轴C. b为x轴,c为y轴D. b为x轴,d为y轴6. 如图,在⊙O中,AB为直径,点M为AB延长线上的一点,MC与⊙O相切于C,圆周上有另一个点D与点C分居直径AB的两侧,且使得MC=MD=AC.现有下列结论: (1)MD与⊙O相切;

(2)四边形ACMD是菱形;

(3)AB=MO;

(4) ∠D=120?.其中正确的结论有( )个.A.

4 B.

3 C.

2 D.

1 二.填空题(每小题6分,共36分) 7. 若方程有一个根是a,方程有一个根是-a,则a= . 8. 如图所示为一个电路图,在该电路图上有四个开关A、B、C、D和一个灯泡的图象与x轴交于、,时,y>0;

④.其中正确结论的序号是 . 11.如图,在ABC中,AB=30cm,AC=20cm,以BC为边作等边BCD,连接AD,则AD的最大值与最小值的和是 . 12.如图,AOB中为等边三角形,点B的坐标为(-1,0),过C(1,0)作直线l交AO于D,交AB于E,E在反比例函数的图象上,且ADE的面积和DOC的面积相等,则k= . 三.解答题(每小题12分,共48分) 13.关于x的一元二次方程. (1)求证:方程有两个实数根;

(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数k的值. 14.如图是四张卡片A、B、C、D的正面图案,它们的背面都相同,现在将这四张卡片背面朝上洗匀,先摸出一张,记下正面的图案后放回,再次洗匀后又摸出一张. (1) 用树状图或列表法表示两次摸出的卡片的所有可能性;

(2) 求摸出的两张卡片的正面图案都是中心对称图形的概率. 15. 如图,在RtABC中,∠A=30?,∠ABC=90?,延长BC到点O,使得OC=BC,以点O为圆心,以OC为半径作⊙O交AC的延长线于D,连接BD. (1)求证:BD与⊙O相切;

(2)若AB=≥0;

(2) ,,

14.(1) …, (2) 16.(1) ;

(2) ;

(3) 第11题 将绕B点顺时针旋转60?,得,连, 在中,≤≤(取等号时是A、A'、D三点共线), ≤≤, 即10=30-20≤PC≤30+20=50. 12. 应用等积转换,也较基础,,

,设,则,则,又,故E为AB的中点,,

即可得k. 15.解:(1)连接,∵,,

∴, ∵,∴为等边三角形, ∴, ∴, ∴,∴, ∵为半径,∴与相切. (2)∵,,

,,

∴,,

∴, ∴, ∴, ∴阴影部分的面积为. 16.解:(1)由题意,,

, 设二次函数的解析式为,则,解得, ∴,顶点为. (2)点、所在的直线方程为,∴,其中, ∴, 即,其中自变量的取值范围是. (3)存在点和使得为直角三角形. 设点的坐标为, 则,,

, ①若为斜边,则, 即, 解得(舍),或,此时点;

②若为斜边,则, 即, 解得(舍),或,此时点;

③若为斜边,则, 即, 解得(舍),或(舍),或无解,此时点不存在, 综上,存在点和使得为直角三角形.