PDF《2016 年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答》

2016 年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答 北京丰台二中

100071 甘志国(特级教师) 选择题共

20 小题.

在每小题的四个选项中,只 有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表 格中,选对得

5 分,选错扣

1 分,不选得

0 分. 1.直线 y = - x +

2 与曲线 y = - ex+a 相切,则a的值为 ( ) A. -

3 B. -

2 C. -

1 D.前三个答案都不对 2.已知三角形 ABC 的三边长分别为 a,b,c,则下 面四个结论中正确的个数为 ( ) (1) 以a,b,c为边长的三角形一定存在 (2) 以a2 ,b2 ,c2 为边长的三角形一定存在 (3) 以a+b2,b+c2,c+a2为边长的三角形一定 存在 (4) 以a-b+1, b - c + 1, c - a +

1 为边 长的三角形一定存在 A.2 B.3 C.4 D.前三个答案都不对 3.设AB,CD 是O 的两条垂直直径,弦DF 交AB 于点 E,DE = 24,EF = 18,则OE 等于 ( ) A.4

6 B.5

3 C.6

2 D.前三个答案都不对 4.函数 f(x) =

1 p ,若x为有理数 q p ,p 与q互素, 0,若x为无理数, ì ? í ? ? ? ? 则满足 x ∈ (0,1) 且f(x) >

1 7 的x的个数为 ( ) A.12 B.13 C.14 D.前三个答案都不对 5.若方程 x2 - 3x -

1 =

0 的根也是方程 x4 + ax2 + bx + c =

0 的根,则a+b-2c 的值为 ( ) A. -

13 B. -

9 C. -

5 D.前三个答案都不对 6.已知 k ≠ 1,则等比数列 a + log2 k,a + log4 k,a + log8 k 的公比为 ( ) A.

1 2 B.

1 3 C.

1 4 D.前三个答案都不对 7.cos π

11 cos 2π

11 …cos 10π

11 的值为 ( ) A. -

1 16 B. -

1 32 C. -

1 64 D.前三个答案都不对 8.设a,b,c 为实数,a,c ≠ 0,方程 ax2 + bx + c =

0 的两个虚数根为 x1 ,x2 满足 x2

1 x2 为实数,则∑

2015 k =

0 x1 x2 ? è ? ? ? ÷ k 等于 ( ) A.1 B.0 C.

3 i D.前三个答案都不对 9.将12 个不同物体分成

3 堆,每堆

4 个,则不同 的分法种类为 ( ) A.34650 B.5940 C.495 D.前三个答案都不对 10.设A是以 BC 为直径的圆上的一点,D,E 是线 段BC 上的点,F 是CB 延长线上的点,已知 BF = 4, BD = 2,BE = 5,∠BAD = ∠ACD,∠BAF = ∠CAE,则BC 的长为 ( ) A.11 B.12 C.13 D.前三个答案都不对 11.两个圆内切于 K,大圆的弦 AB 与小圆切于 L,已知 AK ∶ BK =

2 ∶ 5,AL = 10,则BL 的长为 ( ) A.24 B.25 C.26 D.前三个答案都不对 12.f(x) 是定义 在实数集R上的函数, 满足2f(x) + f(x2 - 1) = 1,?x ∈ R,则f( -

2 ) 等于 ( ) A.0 B.

1 2 C.

1 3 D.前三个答案都不对 13.从一个正

9 边形的

9 个顶点中选

3 个使得它 们是一个等腰三角形的三个顶点的方法是 ( ) A.30 B.36 C.42 D.前三个答案都不对 14.已知正整数 a,b,c,d 满足 ab = cd,则a+b+c+d有可能等于 ( ) A.101 B.301 C.401 D.前三个答案都不对 15.三个不同的实数 x,y,z 满足 x3 - 3x2 = y3 - 3y2 = z3 - 3z2 ,则x+y+z等于 ( ) A. -

1 B.0 C.1 D.前三个答案都不对

9 5 中学数学杂志

2016 年第

11 期ZHONGXUESHUXUEZAZHI 万方数据 16.已知 a + b + c = 1,则4a +

1 + 4b +

1 + 4c +

1 的最大值与最小值的乘积属于区间 ( ) A.[10,11) B. [11,12) C. [12,13) D.前三个答案都不对 17.在圆内接四边形 ABCD 中,BD = 6,∠ABD = ∠CBD = 30°,则四边形 ABCD 的面积等于 ( ) A.8

3 B.9

3 C.12

3 D.前三个答案都不对 18.1! + 2! + … + 2016! 除以100 所得的余数 为()A.3 B.

13 C.27 D.前三个答案都不对 19.方程组 x + y2 = z3 , x2 + y3 = z4 , x3 + y4 = z5 , ì ? í ? ? ? ? 的实数解组数为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.前三个答案都不对 20.方程 x3 + x

3 ? è ? ? ? ÷

3 + x3 + x