PDF《2016 年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答》

3 = 3x 的所有实根的平 方和等于 ( ) A.0 B.2 C.4 D.前三个答案都不对 参考答案 1.A.由切点在切线 y = - x +

2 上,可设切点坐标为(x0 ,2 - x0 ).又切点(x0 ,2 - x0 ) 在曲线 y = - ex+a 上,可得

2 - x0 = - ex0 +a . 再由 y = - ex+a ,得y′ = - ex+a ,可得曲线 y = - ex+a 在切 点(x0 ,2 - x0 ) 处切线的斜率为 - ex0 +a .又切线 y = - x +

2 的 斜率为 - 1,所以 - ex0 +a = - 1.进而可得

2 - x0 = - ex0 +a = - 1,x0 = 3,a = - 3. 2.B.可不妨设

0 <

a ≤ b ≤ c,得a+b>

c. 结论(1) 正确:因为可得 a +

2 ab + b >

c,( a + b )2 >

( c )2 , a + b >

c . 结论(2) 错误:2,3,4 是一个三角形的三边长,但22 ,32 ,

42 不会是某个三角形的三边长. 结论(3) 正确:因为可得 a + b

2 ≤ c + a

2 ≤ b + c

2 , a + b

2 + c + a

2 >

b + c

2 . 结论(4) 正确:因为 | a - b | +

1 = b - a + 1, | b - c | +

1 = c - b + 1, | c - a | +

1 = c - a + 1, 所以 | a - b | +

1 ≤| c - a | + 1, | b - c | +

1 ≤| c - a | + 1, { (| a - b | + 1) + (| b - c | + 1) ≥| (a - b) + (b - c) | +

2 >

| c - a | + 1. 3.解法

1 C.如图

1 所示,设O 的半径为 r,由相交弦定 理和勾股定理,可得 24・18 = AE・EB = (r + OE)(r - OE) = r2 - OE2 ,

242 = r2 + OE2 , { 把它们相加后,可求得 OE =

6 2. 图1图2解法

2 C.如图

2 所示,连结 CF,可得 DOE ∽ DFC, 所以 DO DF = DE DC , DO

24 +

18 =

24 2DO ,DO2 =

12 ・ 42,OE = DE2 - OD2 =

242 - 12・42 =

6 2. 4.D.由x∈(0,1) 知,在f(x) 的解析式中可不妨设 p,q ∈ N? ,p >

q,(p,q) = 1. 由f(x) >

1 7 ,可得 x = q p ,f(x) =

1 p >

1 7 ;

p = 2,3, 4,5,6,进而可得 x =

1 2 ,

1 3 ,

2 3 ,

1 4 ,

3 4 ,

1 5 ,

2 5 ,

3 5 ,

4 5 ,

1 6 ,

5 6 所以满足题设的 x 的个数为 11. 5.A.解法

1 D.因为 x4 + ax2 + bx + c = (x2 - 3x - 1)(x2 + 3x + a + 10) + (3a + b + 33)x + a + c + 10,所以由题意, 得方程 x2 - 3x -

1 =

0 的两个根

3 +

13 2 ,

3 -

13 2 均是方 程(3a + b + 33)x + a + c +

10 =

0 的根,所以 3a + b +

33 = a + c +

10 = 0.得a+b-2c = (3a + b + 33) - 2(a + c + 10) -

13 = - 13. 解法

2 D.由题设,可得(x2 - 3x - 1) (x4 + ax2 + bx + c).又注意到 x4 + ax2 + bx + c 不含 x3 项,所以 x4 + ax2 + bx + c = (x2 - 3x - 1)(x2 + 3x - c),x4 + ax2 + bx + c = x4 - (c + 10)x2 + 3(c - 1)x + c. 得a=-c-10,b = 3c - 3. 所以 a + b - 2c = - 13. 6.B.由题设,得a+12log2 k ( )

2 = a + log2 k ( ) a +

1 3 log2 k ( ) a = -

1 4 log2 k. 所以所求的公比为

0 6 ZHONGXUESHUXUEZAZHI 中学数学杂志

2016 年第

11 期 万方数据 a + log4 k a + log2 k = -

1 4 log2 k +

1 2 log2 k -

1 4 log2 k + log2 k =

1 3 . 7.解法

1 D.设x=cos π

11 cos 2π

11 cos 3π

11 cos 4π

11 cos 5π

11 , y = sin π

11 sin 2π

11 sin 3π

11 sin 4π

11 sin 5π

11 , 可得 32xy = sin 2π

11 sin 4π

11 sin 6π

11 sin 8π

11 sin 10π

11 = sin 2π

11 sin 4π

11 sin 5π

11 sin 3π

11 sin π

11 = y(x ≠ 0), x = cos π

11 cos 2π

11 cos 3π

11 cos 4π

11 cos 5π

11 =

1 32 , 所以 cos π

11 cos 2π

11 …cos 10π

11 = - cos π

11 cos 2π

11 cos 3π

11 cos 4π

11 cos 5π

11 ( )

2 = -

1 1024 . 解法

2 D. cos π

11 cos 2π

11 …cos 10π

11 = - cos π

11 cos 2π

11 cos 3π

11 cos 4π

11 cos 5π

11 ( )

2 = - cos π

11 cos 2π

11 cos 4π

11 cos 8π

11 cos 16π