PDF《基础知识回顾》

高中阶段似已掌握概率的最基本运算, 大学阶段的学习应如何在其基础上更深一步? 某 种程度上讲, 大学阶段的学习是一种 知其然且知之其所以然 的过程, 既要通过一定的数 学练习培养起严格审慎的概率思维方式, 又要深入理解各种数学定义和公式背后的基本思 想与实用意图, 并了解数学工具的前提假定与应用局限, 从而避免概率思维的误解与滥用.

本章将先回顾中学阶段的一些基础知识和数学符号, 并通过对概率概念及其计算方式的进 一步阐释, 引出条件概率、 事件的独立性等基础的概率论概念. 1.1 基础知识回顾 这一部分将回顾高中阶段的集合论术语与概率计算技巧. 1.1.1 基本术语与符号表达 概率论可以说是一门研究随机现象之数学模型的学科. 所谓随机现象(random phenome- non), 就是在一定条件下并不总是出现相同结果的现象. 对随机现象进行观察、记录、实验 的过程, 称为随机试验(random experiment), 而其中的每一次观测则称为 trial(由于中文缺 少单复数形式, 故翻译仍为试验, 但一个 experiment 可包含若干次 trials). 从 几何 意义上讲, 某一随机现象的所有可能结果的集合, 称为样本空间(sample space), 用大写希腊字母 ? 表示;

而每一个不可再分解的试验结果, 称为样本点(sample point), 用 小写希腊字母 ω 表示, 通常会加上数字下标, 如ω1, ω2,ωn 表示不同的样本点. 如此, 随机事件(random event, 简称事件) 可以定义为某些样本点的集合, 或样本空间的某个子 集(subset). 每一个样本点对应一个基本事件. 样本空间的最大子集, 即?本身, 称为必然 事件(sure event);

样本空间的最小子集, 即空集?(empty set), 称为不可能事件(impossible event). 实际使用中, 随机事件可能有不同的表达方式:直接用语言描述, 同一事件可能有不同 的描述;

也可以用样本空间子集的形式表示, 此时需要理解它所表达的实际含义. 同时应当 注意, 这里的 试验 与科学中的试验或实验并不是一回事, 这里所称的事件与日常语言中 的事件也不是一回事. 概率论中的 事件 与 试验 , 应当连在一起作为一对相互联系的概 念进行理解. 日常用语中的 事件 , 通常是指已经发生的情况, 如 非典 事件、 9・11 事件, 等等. 而概率论中的事件, 仅仅是关于某种状况的一种陈述, 它可能已经发生过, 也可能 没有发生过;

可能发生, 也可能不发生;

发生 与否, 需等待 试验 的结果才能确定. 概率

2 R 语言统计学基础 论中称 两个事件 A 与B共同发生或同时发生 , 并不是真的要求你能够 眼见为实 地看 到它出现, 而只是在说: A 与B存在同时出现的逻辑上的可能 , 至于它实际上有没有发 生过, 并不是关注的重点. 事件的产生总依赖于试验, 这也不一定意味着个体要去亲身地观 察和实验, 而可以只是一种逻辑上的思考与想象, 可以仅是一种理论上的 观察 与 推测 . 也就是说, 试验虽然可能涉及真实的、 科学意义上的观测过程, 但更多的只是一种理性上的 思考过程而已. 直观上讲, 用来表示随机事件结果的变量称为随机变量(random variable), 常用大写字 母, 如X、 Y 、 Z 表示. 这其实是将具体的现象抽象化和符号化的过程. 后面会用更加数学化 的语言来重新定义随机变量, 但不妨先做这一简单理解. 事件之间的关系和运算有很多种, 这里仅列出最常见的几种及其符号表示 (表1.1), 以便参阅. 表1.1 概率论中的事件符号及其含义 符号表示 集合论意义 概率论意义 A ? B A 包含在 B 中若A发生, 则B一定发生;