PDF《基础知识回顾》

事件 A 蕴涵事件 B A = B A 与B相等 A 与B同时发生或同时不发生 A ∩ B 交集 (intersection) A 与B同时发生 A ∪ B 并集 (union) A 与B至少有一个发生 A ∩ B = ? A 与B不相交 (disjoint) A 与B互不相容 (互斥, mutually exclusive) Ac 或?AA的补集 (complement), A + Ac = ? A 与Ac 为对立事件 A ? B 差集 (di?erence) A 发生而 B 不发生 若样本空间 ? 可划分为一系列两两互不相容的事件 A1, A2,An, 且A1 ∪ A2 An = ?, 即ni=1 Ai =?, 则称 A1, A2,An 为?的一个分割 (partition), 或称 A1, A2,An 是一个完备 (exhaustive) 事件组. 若干个事件的交集 A1 ∩ A2 An 则可记为 n i=1 Ai. 后面还会遇到其他类型的事件关系, 如A与B相互独立, 这在概率论及其实际应用中 占有很重要的地位, 稍后再行展开. 在公式表达经常会遇到求和号 和连乘号 , 其基本形式如下: n i=1 xi = x1 + x2 xn n i=1 xi = x1x2 ・ ・ ・ xn 在不至于引起歧义时, 为了追求方便, 上下标有时也略去不写. 1.1.2 基本计数原理与技巧 概率的计算通常离不开排列组合等相关的计数技巧(counting technique) 与计数原理. 基本计数原理有两个:加法原理(addition principle) 和乘法原理(multiplication princi- ple). 加法原理的要义是: 做一件事情, 完成它有 n 类办法, 在第

1 类办法中有 m1 种不同的 方法, 在第

2 类办法中有 m2 种不同的方法,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法, 那第1章概率基础

3 么完成这件事情共有 m1 + m2 mn 种不同的方法. 乘法原理的基本要义是: 如果完成 一个事件可以分解为 n 个独立的步骤, 每个步骤均有 m 种实现方式, 那么, 完成这一事件总 共可以有 m * n 种方法. 通常用一句话概括这两个原理的用法: 分类问题用加法, 分步问题 用乘法. 排列组合是高中数学训练的一个重点. 这里不再重复, 仅列出常用概念的记号、 定义与 公式, 以便回顾. 定义 1.1 (阶乘) 阶乘(factorial), 即阶乘式的乘法, 定义如下: n! = n * (n ? 1) * (n ? 2)3 *

2 *

1 (1.1) 特别地, 规定 0! = 1. 有时还可能遇到双阶乘(double factorial), 其定义为 n!! = ? ? ? n * (n ? 2)4 * 2, n为偶数;

n * (n ? 2)3 * 1, n为奇数 (1.2) 仍规定 0!! =

1 在 R中, 计算阶乘的命令为 factorial(). 例如, 求10! 的命令为 factorial(10) 答案为 3628800. 定义 1.2 (排列) 排列(permutation) 是指从 n 个不同元素中无放回 (without replace- ment) 地抽取 r(r n) 个元素所排成的一列 (考虑元素的先后次序). 此排列的总数记为 nPr, 又记为 Pr n 或Ar n(A 是排列的另一英文 Arrangement 的首字母). 排列的计算方式如下: nPr = n! (n ? r)! (1.3) 特别地, 有nPn = n!. 本书采用 nPr 这一记号, 这与国外多数教材比较匹配, 与一般科学计算器上的记号也是 相符的. 但国内似以 Pr n 或Ar n 为主导. 通常行文中, 排列 既可能指元素的一种排序方式, 又可能指所能可能排列的总数, 读者需要根据上下文来理解. 定义 1.3 (组合) 组合(combination) 是指从 n 个不同元素中无放回地抽取 r(r n) 个 元素并成一组 (不考虑元素的先后次序), 记为 nCr 或Cr n 或nr.或者说, 组合数其实考虑 的是 n 个不同元素中无放回地抽取 r(r n) 个元素, 可以构成的不同子集的个数. 组合的 计算方式如下: nCr = nPr r! = n! (n ? r)!r! (1.4) 特别地, 规定 nC0 =n Cn = 1. 排列组合的运算技巧非常丰富, 也总出现在各种数学竞赛的题目中. 然而对概率论和统 计学的学习而言, 这些技巧并不处于核心地位. 故这里不再详细展开. R中计算组合的命令为 choose(n, k), 给出的是 nCk 的值. 例如, 求10C5 的命令为