PDF《基础知识回顾》

4 R 语言统计学基础 choose(10, 5) 答案为 252. R并未提供直接计算排列的命令, 但注意到排列与组合间的倍数关系, 这可转换为组合 与阶乘的乘积来求. 例如, 求10P5 时, 可利用关系式 10P5 =10 C5 * 5!, 输入如下命令: choose(10, 5) * factorial(5) 答案为

30 240. 1.2 概率的计算方式与公理化定义 概率(probability) 是什么? 这其实是一个很难回答的问题, 答案也不统一. 这里不妨先 引用一段美国统计学家福尔克斯 (Leroy Folks) 的话①: 科学理论是建立在没有定义(或定义得不好) 的名词上的. 定义质量, 力和加速度的尝试 都是不满意的, 然而依据建立在这些名词上的理论, 飞机在飞, 火车在行驶, 卫星在围绕地球 运行. 电子有时描述为粒子, 有时为波, 有时既是粒子也是波, 即使这个词没有确切定义, 而 晶体管技术仍在前进. 概率存在类似的情况. 虽然概率这个词没有明确的定义, 但统计方法 和概率模型却证明它们自身很有用. 理想中总希望对每个概念都进行精确定义, 然而并不总能做到这一点. 作为概率论的核 心, 概率 这一概念本身就是模糊不清的. 然而正如上面的引文所言: 这并不影响概率论的 魅力与应用. 正确地理解这一点, 是大学阶段概率统计学习的重要前提. 在形式化地给出概 率的公理化定义之前, 这里先简要介绍概率的几种计算方式 (或称实现方式). 它们在概率的 公理化定义出现之前就已经存在, 并且更为直观. 1.2.1 古典概率 通常人们最为熟悉的概率就是古典概率(classical probability), 其问题形如: 从装有

10 个红球和

5 个白球的盒子中随机取出一球, 请问该球为红色的概率多大? 答案显然为 10/15 = 2/3. 这里的 随机取出一球 (或描述为 任取一球 ), 实际是指 每个小球被取中 的可能性相同 , 同时盒子中的小球个数也是有限的 (这样能保证分母为有限的整数). 这些 隐含的意思对于概率计算非常关键. 实际上, 试验结果的 有限性 与 等可能性 正是古典 概率计算的先决条件. 定义 1.4 (古典概型) 概率论中把满足下列条件的概率模型称为古典概型: (1) 试验的所有可能结果是有限的;

(2) 试验的每一个结果出现的可能性相同;

(3) 事件 A 的概率 [记为 P(A)] 定义为 P(A) = 事件A包含的可能结果个数 所有可能结果的个数 (1.5) = 事件 A 中包含的样本点数 样本空间中的样本点数 (1.6) ① 福尔克斯: 统计思想 [M]. 魏宗舒、 吕乃刚, 译. 上海: 上海翻译出版社, 1987: 55. 第1章概率基础

5 由古典概型中计算出来的概率就是所谓的古典概率. 之所以称为古典, 是因为这种概率被经典数学家们, 如Blaise Pascal (1623―1662)、 Pierre- Simon Laplace (1749―1827) 等人研究得最早、最透彻. 其中 事件 A 包含的可能结果 通 常也称为有利结果(favorable outcomes), 这里的 有利 不是对谁有利的意思, 而只表示这 是此时关注的结果 (outcomes of interest). 由于假定了每个结果发生的可能性相等, 古典概 型又称为等可能概型, 但严格来说等可能概型并不仅仅局限于古典概型, 后面我们将明了这 一点. 要注意的是, 并不是一个事件有 n 个可能结果, 这n个结果的可能性就是相同的. 这 方面有一个最简单的例子: 假设我们每天都要出门上班 (上课), 此时只有两种可能: 出车祸, 不出车祸. 如果这两个结果是等可能的, 我们还能放心地出门吗? 实际上, 出车祸的可能远 低于不出车祸的可能. 概率模型中的 等可能 只是一种内在的模型假定, 它不一定是真实 的事实. 只有当事实能够与这一前提假定相一致, 才能运用等可能概型来做计算;