PDF《Optical Surface》

2 中, 当尺度 n 增大到一定数值时, logS[ n ] 、 log( n) 之间呈现出非线性关系, 不再表现为分形 特征, 这是因为抛光表面存在一个有限的界定尺度 nc , 在小于 nc 的尺度范围内, 结构函数主要由工艺参 数决定, 它与测量尺度成双对数线性关系;

在超过 nc 的尺度范围区, 微观轮廓的作用距离很远, 其它因 素的影响成分增大, 结构函数呈现出非线性特征. 光学表面的分形维数不受采样长度的影响, 这是因为分形维数反映的是从采样长度到原子尺度所 有波长的形貌特征;

当采样长度改变时, 只有极少数的低频成分发生变化, 对结构函数的分布形式影响 不大, 因此分形维数具有相对的稳定性. 采样点数对分形维数具有一定的影响, 这主要是由于 Df 通过结构函数来求得, 而采样点数与结构 函数的尺度直接相关, 从而影响了 Df 的数值;

当采样点数很多时, 更多的轮廓细节被分辨出来, Df 逐渐 趋于稳定.

3 光学表面的自回归分形模型 在光学表面的抛光加工中, 由于抛光盘半径不可能为零, 它总是会覆盖一定的加工区域, 因此表面 上任一点和邻近各点之间存在着相关性. 为了简化起见, 我们以一阶自回归模型进行分析, 设表面轮廓 高度为 x[ i] , 它和邻点存在着如下关系: x[ i] = Q# x [ i - 1] + w [ i] (5) 其中 Q是模型参数, 满足

0 [ Q [ 1;

w [ i] 是对应的观测噪声序列. 根据式(1)、 (5), 可以推导出(E 为求平均值的计算符号) : x[ i + n] = Q# x[ i + n - 1] + w [ i + n] = Q n x [ i] + E n j=

1 ( Q j-

1 w [ i + n + 1- j ] ) (6) S [ n] = E( x[ i + n] - x [ i] )2 = E ( Q n - 1)x [ i] + E n j=

1 ( Q j-

1 w [ i + n + 1- j ] )

2 (7) S [ n] [ 2(1- Q n )2 E(x [ i] )2 + 2E E n j=

1 ( Q j-

1 w [ i + n + 1- j ] )2 (8) E(x[ i] )

2 [ 2Q

2 E(x[ i - 1] )

2 + 2E(w [ i] )

2 [ (2Q

2 ) i E(x[0] )

2 +

2 E i j=

1 {(2Q

2 ) j-

1 E(w[ i + 1- j ] )

2 } (9) 联立式(8)、 (9), 可得: S [ n] [ 2(1- Q n )

2 (2Q

2 ) i E( x[ 0] )

2 + 4(1 - Q n )

2 E i j=

1 {(2Q

2 ) j-

1 E(w [ i + 1- j ] )

2 } + 2E E n j=

1 ( Q j-

1 w [ i + n + 1- j ] )2 (10) 令k[ i, n] = 2(1- Q n )

2 (2Q

2 ) i w [ i, n] = 4( 1- Q n )

2 E i j=

1 {(2 Q

2 ) j-

1 E(w [ i +

1 - j ] )

2 } + 2E E n j=

1 ( Q j-

1 w [ i + n + 1- j ] )

2 (11)

74 国防科技大学学报2003 年第

4 期 将式(11) 代入(10), 并考虑 S [ n] 的取值下限, 有: - k[ i, n] # E(x [ 0] )2 + w [ i, n] [ S[ n] [ k[ i, n] # E(x [ 0] )2 + w [ i, n] (12) 因此可见 S [ n] 的变化范围. 对k[ i, n] 求导, 得出当 Q=

0 或Q=

1 时, k[ i, n ] 取最小值 kmin = 0;

当Qn=ii+n时, k[ i, n] 取最大值kmax = 2i+

1 n2 ( i + n)2 i i + n 2i n . 从式(11)、 ( 12) 可以发现, 尺度 n <

nc 时, k[ i, n] 较小, S[ n ] 的变化范围窄, 接近于取确定值, 此时 S [ n] 与n近似存在幂指数关系, 在双对数曲 线上表现为一条直线;

n >

nc 时, S[ n] 的变化范围大, logS[ n] 与log( n) 表现为非线性关系. 当尺度 n 取较小值时, 对式(12) 取对数, 并忽略随机噪声的影响, 有: logS[ n] U T + 2log(1- Q n ) (13) 其中 T 是与自回归过程相关的参数. 结构函数在双对数条件下的局部斜率为: Kc = logS [ n] - logS[ n - 1] logn - log( n - 1) = 2log{(1 - Q n )/ (1 - Q n-

1 )} log{ n/ ( n - 1)} (14) 分析上式, 当模型参数 Q越大时, Kc越大, 分形维数Df 越小, 根据分形理论可以将这种情况解释为: Q越大, 光学表面各个区域的相关性增大, 随机成分减小, 分形维数就越小, 反之亦然. 经过研究发现, Q= 0.