PDF《爱情动力学建模分析》

第1 8卷第3期2019年5月 杭州师范大学学报( 自然科学版) J o u r n a l o fH a n g z h o uN o r m a lU n i v e r s i t y ( N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n ) V o l .

1 8N o .

3 M a y2

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9 收稿日期:

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1 4 修回日期:

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2 5 基金项目: 国家自然科学基金项目(

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1 4 ) . 通信作者: 徐衍聪(

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7 0―) , 男, 教授, 博士, 主要从事微分方程分支理论研究. E m a i l : y a n c o n g x@1

6 3. c o m :10.

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6 9 / j . i s s n .

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2 X.

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2 爱情动力学建模分析 胡潇, 朱子睿, 徐衍聪 ( 杭州师范大学理学院, 浙江 杭州

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2 1 ) 摘要:运用数学建模的方法模拟爱情中的动力学行为, 建立了非线性常微分方程组模型, 并运用动力系 统分支知识对模型进行分析, 找到了模型的 H o p f分支,证明了模型中稳定或不稳定极限环的存在性. 结果表 明, 维持长久的爱情需要保持一定的距离感. 关键词:微分方程;

爱情;

稳定性;

H o p f分支;

极限环 中图分类号: O

2 9;

O

1 7

5 屠2010:

3 5 K

5 7;

3 7 L

1 5 文献标志码:A 文章编号:

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2 X(

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1 9 )

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0 引言 爱情是人类诸多 情感中尤其神秘的一种特殊情感. 心理学家们常对影响爱情的各个方面进行研究[

1

5 ] . 自牛顿引入微分学以来, 物理学、 生物学、 经济学、 医学等学科中的动态现象都被用微分方程进行了 广泛的研究, 并取得了很好的进展[

6

1 0 ] . 而爱情的动力学行为还没有以微分方程的形式得到很好的解决. 最初的贡献来自于S t r o g a t z [

1 1 ] , 他在一篇题为《 爱情和微分方程》 的论文中成功地将爱情和微分方程建立 了联系. 之后, R i n a l d i [

1 2 ] 采用3个普通的微分方程来模拟1 4世纪意大利著名诗人彼得拉克和劳拉之间的 爱情动态.

2 0

0 4年, G o t t m a n [

1 3 ] 在《 婚姻中的数学: 动态非线性模型》 一文中用数学模型模拟了婚姻关系, 并且预测了离婚的可能性. 本文将建立一个新的非线性微分方程模型, 并找出方程平衡点的局部稳定性以及可能产生的分支现 象和极限环的存在性. 该模型主要依据爱情中一个普遍的现象展开, 即距离产生美, 但什么样的距离才能 使两个人处在最为舒适的感觉中, 这是个有意思的问题. 许多学者对爱情与距离的关系进行了研究[

1 4

1 6 ] . 有结果表明, 太过浓烈的爱情会让人产生压迫感, 反而不利于两个人的感情发展[

1 7

1 9] . 本文拟建立微分方 程组来描述这一现象, 并试图预测随着时间的推移距离与爱情间的关系.

1 模型构造

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8 8年, S t r o g a t z [

1 1 ] 引入了微分方程来模拟爱情中双方情绪间的动力学变化: d d=

1 1 +12, d d=

2 1 +22,(1)其中, ( )和( )分别表示男孩罗密欧和女孩朱丽叶的感情随着时间舻谋浠;

参数 (,=1, 2) 可以为 正数或者负数, 表示罗密欧与朱丽叶对自己和伴侣感受的反应. 本文研究一个具有更复杂动力学行为的非线性动力系统. 有很多方法可以使这个系统非线性化, 但本 文将关注其中一个有意义且贴近实际的方面, 并对其进行建模分析: 用( )和( )分别表示男孩罗密欧 和女孩朱丽叶的感情随着时间舻谋浠, 参数, , , 表示罗密欧与朱丽叶对自己和伴侣感受的反应, 并 规定这些参数都是非零实数, 故而线性系统变为: d d= + , d d= + .(2)假设罗密欧对朱丽叶的感受做出了积极的反应, 但是如果她的感情过于强烈, 罗密欧就会感到窒息, 并开始以消极的方式做出反应. 此外, 如果朱丽叶是敌对的, 即对于罗密欧来说朱丽叶很难追求到, 罗密欧 反而可能会决定追随她, 反之亦然. 为了在系统中实现上述现象, 用 ( 1-) 和 ( 1-) 代替系统( 2) 中 的 和 , 从而得到新的系统: d d= + ( 1-) , d d= ( 1-) +,(3)其中, 参数, , , 表示罗密欧与朱丽叶对自己感受和对方感受的反馈. , 饧渲饕腥缦录钢止叵: