PDF《第二十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛参考解答》

第二十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛参考解答 第 1页 共5页第二十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛参考解答

2018 年3月25 日

一、大学生张某,出行喜欢用共享单车,日常情况是周一到周五,每天要从宿舍 到教学楼,骑行两个往返,每个单程用时

10 分钟;

周末和国假回家(连续假日时,只 需往返一次) ,从宿舍到家单程骑行要

50 分钟.

有A、B、C、D 四家共享单车公司, 其收费规则如下: 公司 计费 付费优惠 A 0.5 元/次 没有 B

1 元/次 周末和国假骑行免费 C

1 元/次 每月可以抽到一张奖券,用此券免费不计次连续骑行一周 D

1 元/次 每骑行付费一次,下次骑行免费 其中,使用半小时为一次;

使用不足半小时,按一次计费. 如果不考虑押金和服务等因素,仅从用车付费的角度,且只使用一个公司的单车, 你认为张某在这个学期(2 月26 日到

7 月13 日)日常情况下,用哪个公司的共享单车 最划算?说明理由. 解 这个学期有

20 周,19 个周末(含三天国假清明、五一,端午) ,不足半小时 的次数有(20*5?3)*4=388 个,还有 19*2=38 个50 分钟(回家、返校)的单程.对此, 若用 A 公司的车,约需付费:388*0.5+38*1=232(元);

若用 B 公司的车,约需付费:388*1=388 (元);

若用 C 公司的车,大体认为在 4.5 个月的周期里,可以免单 4.5 周,计费的学习日 不超过15.5*5≈78天, 周末加国假不超过15个, 约为需付费不超过: 78*4+15*4=372(元);

若用 D 公司的车,约需付费:

388 2 *1+

38 2 *2=213(元). 综上所述,选用 D 公司的车最省钱,也就是最划算.另外,如此高频地用自行车, 建议购置一辆普通自行车可以进一步降低骑行成本.

二、马尔萨斯是十八世纪知名的人口学家,1798 年在论文《关于人口学原理》 ( Essay on the Principle of Population)中阐述了这样的观点:"如果一个国家的人口 以几何级数无限制地增长,很快就会有几百万人因缺乏食物而无法生活".文中又说: "假设人口数每

25 年翻一番,而且农产品在第一个

25 年翻倍,随后就以算术级数连续 增加.经过一百年,人口数就会增加到

11200 万.但是生活保障条件仅仅能够维持

3500 万人的生活,这时将有

7700 万人完全没有生活来源.这是一个非常令人震惊的局面". 对于"人口数每

25 年翻一番"这个假设,四十七年后,比利时学者威尔霍斯特于

1845 年使用美国

1790 年至

1840 年这五十年的人口普查数据(见表 1)进行了验证. 后来美国数学家佩尔等人于

1920 年又继续给出了其后从

1850 年至

1910 年这六十年的 人口普查数据(见表 2) . 第二十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛参考解答 第 2页 共5页表1美国

1790 年至

1840 年的人口普查数据 年代

1790 1800

1810 1820

1830 1840 人口数 3,929,827 5,305,925 7,239,814 9,638,151 12,866,020 17,062,566 请你根据这两个表,用简单的计算检验一下这

120 年间,马尔萨斯关于人口数

25 年翻一倍的假设是否正确. 解 数据全部是每隔十 年有一个观测值,要验证

25 年人口数是否翻一倍,就需要 有间隔为五年的数据.为此我 们在每相邻的两个观测值之 间插入这两个观测值的平均 数作为这个期间第五年的人 口数,于是就得到下表所列的 数据.表中第三列给出了各年 在25 年后人口数的增长率, 如表中第三列中的第一个数 1.15 就是从