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2017 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

一、填空题

1、化简 ? ? ? ? ? ?

3 4

4 3

1 2

3 3

2 1

1 2

2 1

1 … ? ? ?

2016 2017

2017 2016

1 .

2017 1 1? 解:由111)1(1)1).(

1 (

1 )

1 (

1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k k k k k k k k k k k k k 可得.

2、若sinx+cosx=

2 2 ,

8 2

5 cos sin

3 3 ? ? x x . 解:4121)cos (sin cos sin

2 ? ? ? ? ? x x x x ,

8 2

5 8

2 3

4 2 ) cos (sin cos sin

3 ) cos (sin cos sin

3 3

3 ? ? ? ? ? ? ? ? x x x x x x x x

3、体积为

1 的正四面体被放置于一个正方体中,则此正方体体积的最小值是

3 . 解:反向考虑,边长为 a 的正方体(体积为 a

3 ),其最大内接正四面体顶点,由互不共棱的正方体顶点组 成,其体积为 .

3 a

1 3 ,

3 3

3 3 ? ? ,则令aa

4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上,则椭圆的离心率 ? e

2 2

2 1 或.解:建立坐标系,设椭圆的方程为 ),

0 , ( ),

0 , ( ),

0 (

1 2 ,

1 2 ,

1 2

2 2

2 b B a A b a b y a x ? ? ? ? ? ? ? ? 则顶点 焦点 )

0 , (

2 ,

1 c F ? ? ,准线方程为 , ,

2 2

2 2 ,

1 b a c c a l ? ? ? ? 其中 据对称性,只要考虑两种情况: (1) 、 上, 的对称点在右准线 关于 c a x c F a A

2 2

1 )

0 , ( )

0 , ( ? ? 由21,22?????aceccaa得;

(2) 、 上, 的对称点在右准线 关于 c a x c F B

2 2

1 )

0 , ( ) b ,

0 ( ? 由横坐标 .

2 2 ,

2 0

2 ? ? ? ? a c e c c a 得

5、函数

1 4

3 4

2 ? ? ? ? x x y 的最小值是

5 . 解:首先,.06414342????????xxxxy又由),

1 4 (

9 )

4 (

2 2 ? ? ? x x y 即0)9(80

64 ,

0 )

9 (

8 20

2 2

2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? y y y xy x 据判别式 ,即,52?y因y>0,则,5?y此值在 求解) (也可以令 时取得 ? tan

2 1 .

5 1 ? ? x x .

6 、设??????22102)1(xaxaaxxn…nnxa22?,则 ? ? ?

6 4

2 a a a … ? ? n a2

2 1

3 ? n . 解:令x=0,得a0=1,再令 x=1,得a0+ a1+ a2+…+ a2n= n

3 ,又令 x=-1,得a0- a1+ a2+…+ a2n=1,所以

2 1

3 2

6 4

2 ? ? ? ? ? ? n n a a a a ? .

7 、将全体真分数排成这样的一个数列 } { n a : ,

4 3 ,

4 2 ,

4 1 ,

3 2 ,

3 1 ,

2 1 …,排序方法是:自左至右,先将分母按 自小到大排列,对于分母相同的分数,再按分子自小到大排列,则其第

2017 项?2017 a

65 1 . 解:按分母分段,分母为 k+1 的分数有 k 个,因2080

2 65

64 ,

2016 2

64 63 ? ? ? ? ,因2017 属于第

64 段, 则2017 a 应是分母为

65 的第一数,即65

1 .

8、将各位数字和为

10 的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列 } { n a ,若2017 ? n a ,则n=120. 解:数字和为

10 的两位数 ab 有9个;

数字和为

10 的三位数 abc :首位数字 a 可取 1,2,…,9 中任意 一个值,当a取定后,b 可取 0,1,…,10-a 这11-a 个数字的任意一个值,而在 a,b 确定后,c 的值就 唯一确定,因此三位数的个数是

54 )

11 (

9 1 ? ? ? ? a a ;

数字和为

10 的四位数 abc

1 :a+b+c=9 的非负整数解 (a,b,c)的个数是

55 2

11 ? C ,数字和为

10 的四位数 abc

2 共有

2 个即

2008 和2017,故在 1,2,…,2017 中,满足条件的数有 9+54+55+2=120 个.

二、解答题(共70 分)

9、 (本题满分

15 分)数列 } { n a , } { n b 满足:

1 1

1 ? ? b a , n n n b a a

2 1 ? ? ? , )

1 (

1 ? ? ? ? n b a b n n n . 证明: (1) 、

2 1

2 1