PDF《2017 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案 一、填...》

2 ? ? ? n n b a ,

2 2

2 ? n n b a ;

(2) 、

2 2

1 1 ? ? ? ? ? n n n n b a b a . 证明:)2()(2)2(222222121nnnnnnnnbabababa??????????…①由此递推得nnnnnnnnnnbababababa)1()2()1()2()(2)2(221211212121121122??????????????????????…② 因此

0 2 ,

0 2

2 1

2 2

1 2

2 2

2 2 ? ? ? ? ? ? n n n n b a b a 即有 ,

2 ,

2 2

2 1

2 1

2 ? ? ? ? n n n n b a b a 据①得22212122nnnnbaba?????…③,由条件知,? ?? ? , , n n b a 皆为严格递增的正整数数列, ,

0 ,

0 1

1 ? ? ? ? ? ? n n n n b b a a 所以 n n n n b a b a

2 1

2 1

1 1 ? ? ? ? ? …④ n n b b

1 1

1 ? ? …⑤ 将③④⑤相乘得

2 2

1 1 ? ? ? ? ? n n n n b a b a

10、 (本题满分

15 分) 若小于

2017 的三个互异正整数 a ,b ,c 使得

3 3 b a ? ,

3 3 c b ? ,

3 3 a c ? 均是

2017 的倍数;

证明:

2 2

2 c b a ? ? 必是 c b a ? ? 的倍数. 证:因)(即2233a)(2017 , ) (

2017 b ab b a b a ? ? ? ? ;

又由 ,

2017 0 ? ? ? b a 注意

2017 为质数,则a-b 与2017 互质,因此)(ab b ? ?

2 2 a

2017 … ① 同理有)(bc c ? ?

2 2 b

2017 … ② ) ( ac c ? ?

2 2 a

2017 … ③ , 根据②③,]ba[2017

2 2

2 2 ) ( ) ( bc c ac c ? ? ? ? ? , 即)(cbba???a)(2017 ,从而 ) ( c b ? ? a

2017 ,因正整数 a,b,c 皆小于 2017,得a+b+c