DOC《北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷》

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.A 8.C

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.10.11. 12.13.14.;

注:第12,14题第一空2分,第二空3分.

三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则有 [4分] 解得 6分] 所以数列的通项公式为.7分] 8分] 因为数列是首项为,公比为的等比数列,9分] 所以 [11分] 13分] 16.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)因为 [ 4分] 6分] 所以的最小正周期 , 解得 7分] (Ⅱ)由(Ⅰ)得.因为 ,所以 9分] 所以,当,即时,取得最大值为1;

11分] 当,即时,取得最小值为.13分] 17.(本小题满分13分) 解:2分] 3分] 由,解得 4分] (Ⅱ)设A,B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为,,

则.7分] (Ⅲ)设A型号手机为,,

,,

;

B型号手机为,,

,,

,"至少有1台的待机时间超过122小时"为事件C.8分] 从被测试的手机中随机抽取A,B型号手机各1台,不同的抽取方法有25种. [10分] 抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有: ,,

,,

共4种.11分] 因此 , 所以 . 所以 至少有1台的待机时间超过122小时的概率是.13分] 18.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)因为, 所以,1分] 又因为,2分] 所以平面,3分] 所以.4分] (Ⅱ)取的中点,连接,5分] 因为为棱中点,所以,,

又因为 ,,

所以 ,. 所以四边形是平行四边形,. [ 8分] 又 平面,平面, 所以平面.9分] (Ⅲ)在平面上,延长,交于点. 因为,所以平面;

又,所以平面, 所以 平面平面.11分] 在中,因为,,

所以 12分] 因为,所以是等腰直角三角形,所以. [13分] 由(Ⅰ)得 平面, 所以. 在直角中,14分] 19.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)由椭圆的定义,得,2分] 将点的坐标代入 , 得,解得.4分] 所以,椭圆的方程是.5分] (Ⅱ)依题意,得. 设,则有,6分] 直线的方程为 7分] 令,得,8分] 所以 . 直线的方程为,9分] 令,得,10分] 所以 . 所以 [12分] . 所以为定值.14分] 20.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)的定义域为,且.1分] 当时,. ()① 当时,显然在上单调递增,无极值点.2分] ② 当时,令,解得.3分] 和的变化情况如下表: J K J 所以,是的极大值点;

是的极小值点. [ 5分] ()若是的极值点,则有;

若是的不动点,则有. 从上述两式中消去, 整理得 6分] 设. 所以 ,在上单调递增. 又 ,所以函数有且仅有一个零点, 即方程 的根为, 所以 8分] (Ⅱ)因为有两个相异的极值点,,

所以方程有两个不等实根,,

所以,即.9分] 假设存在实数,,

使得,均为的不动点,则,是方程 的两个实根,显然,. 对于实根,有. ① 又因为 ①②,得.同理可得 . 所以,方程也有两个不等实根,11分] 所以 . 对于方程,有, 所以, 即, 这与相矛盾! 所以,不存在,,

使得,均为的不动点.13分]