DOC《2015年普通高等学校全国统一考试（安徽卷）》

(2)记,证明. 19.(本小题满分13分) 如图所示,在多面体中,四边形,均为正方形,为的中点,过的平面交于F (1)证明: (2)求二面角余弦值. (本小题满分13分) 设椭圆E的方程为,点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为,点M在线段AB上,满足,直线OM的斜率为. (I)求E的离心率;

(II)设点C的坐标为,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程. 21.(本小题满分13分) 设函数. (1)讨论函数内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;

(2)记上的最大值D;

(3)在(2)中,取 参考答案 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分. (1)B (2)A (3)A (4)C (5)D (6)C (7)B (8)D (9)C (10)A 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,共25分. (11)35 (12)6 (13)4 (14) (15)①③④⑤ 三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. (16)(本小题满分12分) 解:设的内角所对边的长分别是 由余弦定理得 所以 又由正弦定理得 由题设知,所以 在中,由正弦定理得 (17)(本小题满分12分) 解:(1)记"第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品"为事件A, (2)的可能取值为200,300,400 故的分布列为

200 300

400 (18)(本小题满分12分) (1)解:,曲线在点(1,2)处的切线斜率为, 从而切线方程为 令,解得切线与轴交点的横坐标 (2)证:由题设和(1)中的计算结果知 当时, 当时,因为 所以 综上可得对任意的,均有 (19)(本小题满分13分) (1)证:由正方形的性质可知,且,所以四边形为平行四边形,从而,又面,面,于是面,又面,面面,所以 (2)解:因为四边形均为正方形,所以,且,以A为原点,分别以为轴,轴和轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标,,

,,

而点为的中点,所以点的坐标为(0.5,0.5,1) 设面的法向量,而该面上向量=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),由,得应满足的方程组 (-1,1,1)为其一组解,所以可取=(-1,1,1) 设面的法向量,而该面上向量=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),由此同理可得 所以结合图形知二面角的余弦值为 (20)(本小题满分13分) 解: (1)由题设条件知,点M的坐标为,又,从而, 进而得,故(2)由题设条件和(1)的计算结果可得, 直线的方程为,点N的坐标为, 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为, 则线段NS的中点T的坐标为,又点T在直线AB上,且, 从而有解得 所以,故椭圆E的方程为 (21)(本小题满分13分) 解: (1) 因为,所以 ①时,函数单调递增,无极值 ②时,函数单调递减,无极值 ③对于,在内存在唯一的,使得, 时,函数单调递减;

时,函数单调递增 因此,时,函数在处有极小值 (2)时,,

当时,取,等号成立, 当时,取,等号成立. 由此可知,在上的最大值为 (3)即为,此时,从而 取,则,并且 由此可知,满足条件的最大值为1