DOC《第十一届全国＂华罗庚金杯＂少年数学邀请赛》

第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛 决赛试卷(初一组) (红色字为参考答案) (时间2006年4月22日10:00~l l :30〉

一、.

填空

1、计算:( )

2、当时,多项式的值是0,则多项式(

5 )

3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余下20本书,如果每人分8本书,就剩有1名小朋友虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有(

6 )名小朋友

4、图l中的长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一 个正方形EFGH拼成.己知长方形ABCD的面积为120 平方厘米,则正方形EFGH的面积等于(

10 )平方厘米

5、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x的和为(

4012 )

6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干个口径相同的山水口,进水口每分钟进水3立方米.若同时打开进水口和三个出水口,池中水16分钟放完;

若同时 打开进水口与五个出水口,池中水9分钟放完.池中原有水(

288 )立方米

7、已知,则小于S的最大的整数是(

0 ) 8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是: 为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n的最小值是(

2005 ) 二.解答下列各题,要求写出简要过程

9、如图3,ABCD是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC和BD是对角线.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周,则阴影 部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z取3.14) 解: ①设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立 体的体积是S,S等于高为10厘米,底面半径是6厘米的 圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆 锥的体积. ②即: S=**10*π-2***5*π=90π, 2S=180π=565.2(立方厘米). 答:体积是565.2立方厘米.

10、将21个整数 分为个数不相等的六组数,分别计算各组的平均值,那么这六个平均值的和最大是多少? 解:①分为个数不相等的6组,整数的个数分别为

1、

2、

3、

4、

5、6. ②应当将数值大的分在整数个数少的组中.所以,可以如下分组: 第一组

10 第二组

9 8 第三组

7 6

5 第四组

4 3

2 1 第五组

0 -1 -2 -3 -4 第六组 -5 -6 -7 -8 -9 -10 ③计算它们的平均值的和: 答:最大的和是.

11、当m =-5,-4,-3,-1,0,1,3,23,124,1000时,从等式(2m+1)x+(23M)y+1-5m =0 可以得到10个关于x和y的二元一次方程,问这10个方程有没有公共解?如果 有,求出这些公共解. 解:①分别取m =0和m =1,得到两个方程: 先求两个方程的公共解,把它们看作二元一次方程组,解得:x =1,y =-1. ②把x=1,y =-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒为0.此即意味着: 当m =-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000时,(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0成立所以, x=1,y =-1是对应的10个方程的的公共解. 答:这些方程的公共解是x=1,y =-1.

12、平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超过36度,请说明理由. 解:①在平面上任取一点.,过O点作已知的5条直线的平行线 ②将O为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角,这10个小角的 和恰等于3600,所以,至少有一个小角不超过360. 三.解答下列各题,要求写出详细过程 13.如图4,A、B和C是圆周的三等分点,甲、乙、丙 三只蚂蚁分别从A、B 、C三个点同时出发,甲和乙 沿圆周逆时针爬行,丙顺时针爬行.己知甲、乙、 丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5,求出三只蚂蚁 所有的会合地点. 解: ①设圆周周长为3L,甲、乙、丙的速度分别为8ν、6ν、5ν;