DOC《昌平区2017-2018学年第一学期期末考试》

若不存在,说明理由. (20) (本小题满分14分) 已知椭圆的离心率为,短轴长为,过右焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点. 求椭圆的方程;

当直线的斜率为时,求的面积;

在轴上是否存在点,满足?若存在,求出的取值范围;

若不存在,请说明理由. (21) (本小题满分14分) 对于曲线上一点,若在曲线上存在异于的两点,满足,且,则称点为曲线的"点",是点的一个"特征三角形". 已知椭圆的一个顶点为,分别为椭圆的左、右顶点. (I) 证明:不是点的"特征三角形";

(II) 当时,已知点是椭圆的"点",且是点的 "特征三角形",求出点的一组坐标;

(III) 试判断点是否为椭圆的"点",若是,求出其"特征三角形"的个数;

若不是,请说明理由. 参考答案

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.) 题号

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10 答案 D B A B B C C D A B

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 11. 假12.13.

8 14. 3;

15. ;

6 16. ①③④

三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (17)(本小题满分14分) 解: (I) 设所求圆的圆心为,半径r.则 所求圆C的方程为…6分(II) ①若直线的斜率不存在,即直线,符合题意;

7分 ②若直线的斜率存在,设直线的方程为,即. 由题意知,圆心到直线的距离等于半径2, 即 ,解得 所求直线的方程是或.14分(18)(本小题满分14分) 证明:(I) 因为分别为的中点,所以.…2分 又平面,平面,故平面.……………5分(II) 因为, 为的中点,所以.6分 因为,平面 所以平面. 又平面 ,所以.…………10分 因为,即平面 所以平面.12分 因为平面,所以平面平面.……14分(19)(本小题满分14分) 解: (I) 在四棱柱中,因为平面平面平面平面 所以平面. ……….1分 以点为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系 ,如图所示. 则…………….3分 设平面的法向量为由 取………5分 设直线与平面所成角为,则 因为 所以 即直线与平面所成角的大小为.…………8分(II) 假设在线段上存在点,使得二面角的大小为. 设,由得…………….9分 设平面的法向量为, 由取……….11分由(I)知,平面的法向量…12分 所以 所以在线段上存在一点,且,使得二面角的大小为 …………14分(20)(本小题满分14分) 解:(I) 根据题意, 解得 故椭圆的方程为…5分(II) 根据题意,直线的方程为. 设. 由得解得. 法一: . 法二:,原点到直线的距离. 所以…10分(III) ① 当直线的斜率为0时,11分②设直线的方程为.设, 由得由韦达定理得, . 所以的中点 . 若,则, 所以即. 解得 .所以. 综上,在轴上存在点,满足,且的取值范围是 …14分(21)(本小题满分14分) 解:(I) 证明: 因为,所以即与不垂直. 所以不是点的"特征三角形"4分(II)当时,椭圆 因为点是椭圆的"点",且是点的一个"特征三角形", 不妨设, 由题意得:解得或(舍) 所以(或)8分(III)点是椭圆的"点". 不妨设点的"特征三角形"为. 设直线的方程为,则直线的方程为, 由得. 因为,所以. 所以 同理可得. 因为,所以, 即.(1) 所以或(2). 由(2)式可得. 当时,(2)式有两个相等的正根1,所以(1)式有三个相等的正根为;

当时,(2)式有两个不等于1 的正根,所以(1)式有三个不相等的正根;

当时,(2)式无实根,所以(1)式只有一个正根为. 综上:当时,满足条件的"特征三角形"有1个. 当时,满足条件的"特征三角形"有3个.14分