DOC《《数学模型》作业解答》

《数学模型》作业解答

第二章(1)(2008年9月16日) 学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍.

学生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数: (1). 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;

(2). §1中的Q值方法;

(3).d'

Hondt方法:将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除,其商数如下表:

1 2

3 4

5 A B C

235 117.5 78.3 58.75 …

333 166.5

111 83.25 …

432 216

144 108 86.4 将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A、B、C行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗? 如果委员会从10个人增至15人,用以上3种方法再分配名额,将3种方法两次分配的结果列表比较. 解:先考虑N=10的分配方案, 方法一(按比例分配) 分配结果为: 方法二(Q值方法) 9个席位的分配结果(可用按比例分配)为: 第10个席位:计算Q值为 最大,第10个席位应给C.分配结果为 方法三(d'

Hondt方法) 此方法的分配结果为: 此方法的道理是:记和为各宿舍的人数和席位(i=1,2,3代表A、B、C宿舍).是每席位代表的人数,取从而得到的中选较大者,可使对所有的尽量接近. 再考虑的分配方案,类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下: 宿舍 (1) (2) (3) (1) (2) (3) A B C

3 2

2 3

3 3

4 5

5 4

4 3

5 5

5 6

6 7 总计

10 10

10 15

15 15 试用微积分方法,建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解: 设录像带记数器读数为n时,录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑到时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度,可得两边积分,得

第二章(2)(2008年10月9日) 15.速度为的风吹在迎风面积为的风车上,空气密度是 ,用量纲分析方法确定风车获得的功率与、S、的关系. 解: 设、、S、的关系为, 其量纲表达式为: [P]这里是基本量纲. 量纲矩阵为: A= 齐次线性方程组为: 它的基本解为 由量纲定理得 , , 其中是无量纲常数. 16.雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关,其中粘滞系数的定义是:运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系数,用量纲分析方法给出速度的表达式. 解:设,,

, 的关系为,,

,=0.其量纲表达式为[]=LM0T-1,[]=L-3MT0,[]=MLT-2(LT-1L-1)-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1,[]=LM0T-2,其中L,M,T是基本量纲. 量纲矩阵为 A= 齐次线性方程组Ay=0 ,即 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲定理 得.,其中是无量纲常数. 16.雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关,其中粘滞系数的定义是:运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系数,用量纲分析方法给出速度的表达式. 解:设,,

,,

的关系为.其量纲表达式为 []=LM0T-1,[]=L-3MT0,[]=MLT-2(LT-1L-1)-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1,[]=LM0T0 ,[]=LM0T-2 其中L,M,T是基本量纲. 量纲矩阵为 A= 齐次线性方程组Ay=0 即 的基本解为 得到两个相互独立的无量纲量 即.由,得,其中是未定函数. 20.考察阻尼摆的周期,即在单摆运动中考虑阻力,并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式,然后讨论物理模拟的比例模型,即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解:设阻尼摆周期,摆长, 质量,重力加速度,阻力系数的关系为 其量纲表达式为: , 其中,,