DOC《《数学模型》作业解答》

是基本量纲. 量纲矩阵为 A= 齐次线性方程组 的基本解为 得到两个相互独立的无量纲量 ∴ ,其中是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型,设和不变,记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为,又 当无量纲量时, 就有 . 《数学模型》作业解答

第三章1(2008年10月14日) 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量.证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样,而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少. 解:设购买单位重量货物的费用为,其它假设及符号约定同课本. 对于不允许缺货模型,每天平均费用为: 令,解得 由,得与不考虑购货费的结果比较,T、Q的最优结果没有变. 对于允许缺货模型,每天平均费用为: 令,得到驻点: 与不考虑购货费的结果比较,T、Q的最优结果减少. 2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型.设生产速率为常数,销售速率为常数,.在每个生产周期T内,开始的一段时间一边生产一边销售,后来的一段时间只销售不生产,画出贮存量的图形.设每次生产准备费为,单位时间每件产品贮存费为,以总费用最小为目标确定最优生产周期,讨论和的情况. 解:由题意可得贮存量的图形如下: 贮存费为 又,贮存费变为 于是不允许缺货的情况下,生产销售的总费用(单位时间内)为.,得易得函数取得最小值,即最优周期为: . 相当于不考虑生产的情况. . 此时产量与销量相抵消,无法形成贮存量.

第三章2(2008年10月16日) 3.在3.3节森林救火模型中,如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关,试假设一个合理的函数关系,重新求解模型. 解:考虑灭火速度与火势有关,可知火势越大,灭火速度将减小,我们作如下假设: , 分母而加的. 总费用函数 最优解为 5.在考虑最优价格问题时设销售期为T,由于商品的损耗,成本随时间增长,设,.又设单位时间的销售量为.今将销售期分为两段,每段的价格固定,记作.求的最优值,使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为,再求的最优值. 解:按分段价格,单位时间内的销售量为 又 .于是总利润为 = = , 得到最优价格为: 在销售期T内的总销量为 于是得到如下极值问题: 利用拉格朗日乘数法,解得: 即为的最优值.

第三章3(2008年10月21日) 6. 某厂每天需要角钢100吨,不允许缺货.目前每30天定购一次,每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略?改变后能节约多少费用? 解:已知:每天角钢的需要量r=100(吨);

每次订货费=2500(元);

每天每吨角钢的贮存费=0.18(元).又现在的订货周期T=30(天) 根据不允许缺货的贮存模型: 得: 令,解得: 由实际意义知:当(即订货周期为)时,总费用将最小. 又=300+100k =353.33+100k -=(353.33+100k)-(300+100k)=53.33. 故应改变订货策略.改变后的订货策略(周期)为T=,能节约费用约53.33元. 《数学模型》作业解答

第四章(2008年10月28日) 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用原料1千克, 原料5千克;

一件乙产品用原料2千克, 原料4千克.现有原料20千克, 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大? 解:设安排生产甲产品x件,乙产品y件,相应的利润为S 则此问题的数学模型为: max S=20x+30y s.t. 这是一个整线性规划问题,现用图解法进行求解 可行域为:由直线:x+2y=20, :5x+4y=70 y 以及x=0,y=0组成的凸四边形区域. 直线:20x+30y=c在可行域内 平行移动. 易知:当过与的交点时,x S取最大值. 由 解得 此时 =20=350(元) 2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体积、重量以及可获利润如下表: 货物 体积 (立方米/箱) 重量 (百斤/箱) 利润 (百元/箱) 甲5220 乙4510 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米,重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱,使得所获利润最大,并求出最大利润. 解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为,,