DOC《17届决赛试题》

17届决赛试题

一、(共30 分) 近来一种新型的定点起重设备 平衡吊 被广泛应用于几十到几百千克工件的频繁吊运,其结构的示意图决17-1所示.

平衡吊主要由传动、杆系、回转座和立柱组成.杆系是由ABD 、DEF 、BC 、CE 四杆铰接组成的四连杆机构,DECB在任何情况下都是一个平行四边形.杆系的A 处是一个水平的转轴,通过电机可控制转轴,使之固定在竖直槽内的不同位置,从而调节挂在绞接于F 处吊钩上的重物的高度.杆ABD 可绕转轴A在竖直平面内无摩擦地转动.杆系的C点是能在光滑的水平槽上滑动的铰链,杆BC 和EC 都可绕C点在竖直平面内转动,绕铰链转动的摩擦均忽略不计.1表示AD 的长度,2表示AB 的长度, 3表示DF 的长度,4表示BC 的长度. ( l )若将各杆都视为轻质(无自重)刚体,且无图中配重物时,试论证

1、

2、

3、4 应满足什么关系才能使平衡吊的吊钩(包括所吊的重物)位于同一水平面上的不同位置时平衡吊都能处于平衡状态. (

2 )若考虑各杆的自重,为使平衡吊的吊钩(包括所吊的重物)位于同一水平面上不同位置时平衡吊都能处于平衡状态,必须在杆ABD 的另一端P 处加上配重物,P 点距A 轴的距离为p .设配重物受到的重力大小为Gp,杆的AD 段、 DF 段、 BC 段、CE 段受到的重力的大小分别为G1 、G3 、G4 和G5 ,不计杆的AP 段所受的重力.问当杆长

1、

2、

3、4 和p 已知,且取1=

3、2 = 4时配重的大小Gp为多少?

二、(共30 分) 太阳风是从太阳大气外层(称为日冕)不断向星际空间发射的稳定的、由相同数目的质子和电子构成的带电粒子流,它使太阳每年减少的质量相对于太阳质量MS 可忽略不计.观测表明,太阳风的速度的人小v随着与太阳中心的距离r的增加而增大.现提出一简单的模型来解释太阳风的速度变化的机制:假定日冕中的大量电子可视为理想气体;

日冕中的电子气是等温(温度为T )的、各向同性的,以球对称的速率v(r)(太阳风的速率)向外膨胀;

太阳风中质子的定向运动速度比电子的小得多,太阳风的速度其实是电子定向运动的速度,太阳风可解释为日冕中的电子气向外的等温膨胀.记太阳风的速率v随着与太阳中心的距离r变化的变化率为τ=Δv/Δr.若不考虑质子和电子间的相互碰撞,试求τ随r 变化的关系式τ(r).

三、(共25 分) 波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形.他将如图决17-3-1 )一块黑色的等边三角形ABC 的每一个边长平分为二,再把平分点连起来,此三角形被分成四个相等的等边三角形,然后将中间的等边三角形图挖掉,得到如图决17-3-2的图形;

接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理,经过第二次分割就得到图决17-3-3 的图形.经三次分割后,又得到图决17-3-4 的图形.这是带有自相似特征的图形,这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫.它的自相似性就是将其中一个小单元(例如图决17-3-4 中BJK)适当放大后,就得到图决17-3-2 的图形.如果这个分割过程继续下去,直至无穷,谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空. 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究,创造和发展出了一门称为 分形几何学 的新学科.近三十多年来,物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域,取得了有意义的进展. 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题:设17-3-l 所示的三角形ABC的边长L0的电阻均为r;