DOC《17届决赛试题》

经一次分割得到如图决17-3-2 所示的图形,其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的二分之一;

经二次分割得到如图决17-3-3 所示的图形,其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r 的四分之一 ;

三次分割得到如图决17-3-4 所示的图形,其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC 的边长的电阻r的八分之一. ( l )试求经三次分割后,三角形ABC 任意两个顶点间的等效电阻. (

2 )试求按此规律作n次分割后,三角形ABC 任意两个顶点间的等效电阻. (

3 )由第2问可知,对边长均为L0 、边长电阻均为r的电阻三角形ABC ,现用获得谢尔宾斯基镂垫的方法进行分割,分割的次数越多, ABC 中每个小三角形的边长越短,参与计算等效电阻的小三角形的边长越多,分割后的 ABC 两顶点间的等效电阻与其中的小三角形的边长有关.为了从 分形几何学 的角度讨论这个问题,我们先介绍二端电阻网络的 指数 的概念.考虑一长、宽、高分别为a 、b 、c的均匀长方形导体,如图决17-3-5 所示.若电流沿平行于导体长度a 的方向流进导体,则该导体的垂直于电流方向的两个端面间的电阻可表示为 R =ρ 式中ρ为导体的电阻率.若保持b 、c不变,使另一边a 的长度变化,并用L 表示这一可改变的长度,这样构成的一维导体的电阻与L成正比,其电阻可表示为 R1(L)=ρ∝L1 式中1 被称为一维导体的指数.若保持c的长度不变,但使a 边和b 边的长度相等且可以改变,并用L表示这一可改变的长度,即a = b = L , 这样构成的二维导体的电阻与可变的长度无关,可表示为 R0(L)=ρ ∝ L0 式中O 被称为二维导体的指数.若保持导体的三条边a 、b 、c的长度都相等且都可改变,并用L 表示可变的长度,即a = b =c = L ,这样构成的三维导体的电阻与可变长度的一次方成反比,可表为 R(-1)(L)=ρ ∝ L-1 式中-1 被称为三维导体的指数.可以将上述结论推广到一般情况,若二端电阻网络的等效电阻与可变长度L的关系为 R(s)(L)=kL ∝ Ls 式中比例系数k 是与L 和s都无关的恒量,则称s为此二端电阻网络的指数. 从谢尔宾斯基镂垫图形看,未经分割的三角形的边长为L0 ,经多次分割,每个最小三角形的边长随分割次数而变,可视为可变长度L .求出经n 次分割后的谢尔宾斯基镂垫图形A 、B 两点的等效电阻与可变长度L 的关系,并计算出相应的指数.

四、(共25 分) 两个光学元件共轴放置,位置固定不动,每个光学元件都可能是薄透镜或平面反射镜.一小物垂直于主轴.已知当小物位于两元件之间的任何位置时,由这光学系统成的像是有限多个,且两个最后的像大小相同.试通过对各种可能情况的分析,论证什么样的光学系统能满足上面的要求,什么样的光学系统不能满足上面的要求.

五、(共30 分) ( l )质量不为零的ω介子静止时衰变为三个质量相同的π介子,即ω→3π.试讨论每次衰变产生的三个π介子的动能T1 、T

2、T3可能取的全部值.通常表示每一组动能值(T1 ,T2 ,T3)的方法如下:作一个等边三角形A1A2A3 ,取其高Q为三个π介子的动能之和Q=T1+T2 +T3 .在三角形内取一点P,令P点到顶点A的对边的距离为T(i =

1 ,

2 ,

3 ) ,则每一点对应一组动........