DOC《北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）》

(一) 数学参考答案及评分标准 (理科)

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) (1) (2) (3)(4) (5) (6) (7)(8)

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) (9) (10) (11), (12)(13) (14) ,. 注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.

三、解答题(本大题共6小题,共80分) (15)(本小题共13分) 解:(Ⅰ) ……3分 ……7分(Ⅱ)由, 解得 或, , 解得或,. 因为 ,当时取等号, 所以 当时,相邻两交点间最小的距离为.13分(16)(共14分) (Ⅰ)证明 因为三棱柱,底面 所以 . 因为 , 所以 . 因为 , 所以 . 因为 , 所以 4分(Ⅱ)解 如图建立空间直角坐标系, 则,,

,. 所以 ,. 所以 . 因为 , 所以 直线与所成的角为45°9分(Ⅲ)解设则,.所在直线的向量与平面GEF的法向量平行. 设平面GEF的法向量为,,

因为 , 所以 令,则. 所以 所在直线的单位向量为. 因为 , 所以 . 因为 , 所以 14分(17)(本小题共13分) 解:(I)三场比赛共有种方式,其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种,所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为.3分(II)令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛. 按ABC顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是: (分钟). 按ACB顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是: (分钟). 按BAC顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是: (分钟). 按BCA顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是: (分钟). 按CAB顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是: (分钟). 按CBA顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是: (分钟). 且上述六个事件是等可能事件,每个事件发生概率为,所以平均等待时间为 11分(III)按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛,可使等待的总时间最少 13分(18)(共14分) - + K J 解:(Ⅰ)当时,则, 则. 令得 所以 当时,,

在上单调递减;

当时,,

在上单调递增;

当时,4分(Ⅱ)因为, 所以恒成立,等价于恒成立. 设,,

得, 当时,,

所以 在上单调递减, 所以 时,. 因为恒成立, 所以.11分(Ⅲ)当时,,

等价于. 设,. 求导,得. 由(Ⅰ)可知,时, 恒成立. 所以时,,

有. 所以 . 所以在上单调递增,当时,. 因此当时,14分(19)(共13分) 解:(Ⅰ) 因为直线过点且与抛物线交于两点,,

设,,

直线(不垂直轴)的方程可设为. 所以,. 因为直线与的斜率之积为, 所以. 所以,得 4分 由 消得 其中 所以, . 所以,抛物线.8分(Ⅱ)设,因为为线段的中点, 所以,. 所以直线的斜率为. 直线的方程为代入抛物线的方程, 得. 所以 . 因为 , 所以.13分(20)(共13分) 解(2分(Ⅱ)充分性:若数列的前项单调不增,即 此时有: 必要性:反证法,若数列的前项不是单调不增,则存在使得,那么: 由于. . 与已知矛盾.9分(III)最小值为0.此时为常数列.10分 最大值为 当时的最大值:此时,11分.当时的最大值:此时. 由易证,的值的只有是大小交替出现时,才能让取最大值. 不妨设:,为奇数,,

为偶数. 当为奇数时有: 当为偶数时同理可证.13分