DOC《2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）》

三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分11分) 某同学用 五点法 画函数在某一个周期内的图象 时,列表并填入了部分数据,如下表:

0 0

5 0 (Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解 析式;

(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图 象. 若图象的一个对称中心为,求的最小值. 18.(本小题满分12分) 设等差数列的公差为d,前n项和为,等比数列的公比为q.已知,,

,. (Ⅰ)求数列,的通项公式;

(Ⅱ)当时,记,求数列的前n项和. 19.(本小题满分12分) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖.如图,在阳马中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接 (Ⅰ)证明:.试判断四面体是否为鳖,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);

若不是,说明理由;

(Ⅱ)若面与面所成二面角的大小为,求的值. 20.(本小题满分12分) 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品.生产1吨产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;

生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍,设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为 W

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18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利(单位:元)是一个随机变量. (Ⅰ)求的分布列和均值;

(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率. 21.(本小题满分14分) 一种作图工具如图1所示.是滑槽的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且,.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线C的方程;

(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线总与曲线有且只有一个公共点,试探究:OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;

若不存在,说明理由. 22.(本小题满分14分) 已知数列的各项均为正数,,

e为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数的单调区间,并比较与e的大小;

(Ⅱ)计算,,

,由此推测计算的公式,并给出证明;

(Ⅲ)令,数列,的前项和分别记为,,

证明:. 绝密启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工类)试题参考答案

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B

二、填空题(本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分) 11.9 12.2 13. 14.15.16.

三、解答题(本大题共6小题,共75分) 17.(11分) (Ⅰ)根据表中已知数据,解得. 数据补全如下表:

0 0

5 0

0 且函数表达式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,得. 因为的对称中心为,. 令,解得, . 由于函数的图象关于点成中心对称,令, 解得,. 由可知,当时,取得最小值 18.(12分) (Ⅰ)由题意有, 即 解得 或 故或 (Ⅱ)由,知,,

故,于是 ①-②可得 , 故. 19.(12分) (解法1) (Ⅰ)因为底面,所以, 由底面为长方形,有,而, 所以. 而,所以. 又因为,点是的中点,所以. 而,所以平面. 而,所以. 又,,