DOC《交通大学2000年保送生数学试题》

交通大学2000年保送生数学试题

一、选择题(本题共15分,每小题3分.

在每小题给出的4个选项中,只有一项正确,把所选项的字母填在括号内) 1.若今天是星期二,则31998天之后是 ( ) A.星期四 B.星期三 C.星期二 D.星期一 2.用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作拼字游戏,若字母的各种排列是随机的,恰好组成 MATHEMATICIAN 一词的概率是 ( ) A. B. C. D. 3.方程cos2x(sin2x+sinx=m+1有实数解,则实数m的取值范围是 ( ) A. B.m >

(3 C.m >

(1 D. 4.若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q=0的两个根,则此数列各项的积是 ( ) A.pm B.p2m C.qm D.q2m 5.设f '

(x0)=2,则()A.(2 B.2 C.(4 D.4

二、填空题(本题共24分,每小题3分) 1.设f(x)的原函数是,则_ 2.设,则函数(的最小值是_ 3.方程的解x= 4.向量在向量上的投影_ 5.函数的单调增加区间是_ 6.两个等差数列200,203,206,…和50,54,58…都有100项,它们共同的项的个数是_ 7.方程7x2((k+13)x+k2(k(2=0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则k的取值范围是_ 8.将3个相同的球放到4个盒子中,假设每个盒子能容纳的球数不限,而且各种不同的放法的出现是等可能的,则事件 有3个盒子各放一个球 的概率是_

三、证明与计算(本题61分) 1.(6分)已知正数列a1,a2,…,an,且对大于1的n有,. 试证:a1,a2,…,an中至少有一个小于1. 2.(10分)设3次多项式f(x)满足:f(x+2)=(f((x),f(0)=1,f(3)=4,试求f(x). 3.(8分)求极限. 4.(10分)设在x=0处可导,且原点到f(x)中直线的距离为,原点到f(x)中曲线部分的最短距离为3,试求b,c,l,m的值.(b,c>

0) 5.(8分)证明不等式:,. 6.(8分)两名射手轮流向同一目标射击,射手甲和射手乙命中目标的概率都是.若射手甲先射,谁先命中目标谁就获胜,试求甲、乙两射手获胜的概率. 7.(11分)如图所示,设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形OB1A1,A1B2A2,…,直角顶点在曲线上.试求An的坐标表达式,并说明这些三角形的面积之和是否存在. 复旦大学2000年保送生招生测试数学试题(理科)

一、填空题(每小题10分,共60分) 1.将自然数按顺序分组:第一组含一个数,第二组含二个数,第三组含三个数,……,第n组含n个数,即1;

2,3;

4,5,6;

…….令an为第n组数之和,则an= 2. 3. 4.已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度,又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角,和底面成60度角,则两对角面面积之比为_ 5.正实数x,y满足关系式x2(xy(4=0,又若x≤1,则y的最小值为_ 6.一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进,当车尾经过某站台时,有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件,然后原速返回,返回中与车尾相遇时,此人发现这时正在离站台1000米处,假设摩托车车速不变,则摩托车从出发到站台共行驶了_米.

二、解答题(每小题15分,共90分) 1.数列{an}适合递推式an+1=3an+4,又a1=1,求数列前n项和Sn. 2.求证:从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点.你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗?请叙述但不必证明. 3.正六棱锥的高等于h,相邻侧面的两面角等于, 求该棱锥的体积.() 4.设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点,若z1+z2+z3+z4=0. 求证:这四个点组成一个矩形. 5.设,其中xn,yn为整数,求n→∞时,的极限. 6.设平面上有三个点,任意二个点之间的距离不超过1.问:半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点.请证明你的结论. 2000年交大联读班试题 直线关于的对称直线为_ 已知是的三边,,