DOC《西城区高三模拟测试》

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.10.11. 12.13.;

或14.;

注:第

13、14题第一空2分,第二空3分.

三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)由,得,3分] 所以 函数的定义域是.[ 4分] (Ⅱ)依题意,得.5分] 所以.7分] 因为是锐角,所以 ,[ 8分] 所以,[ 9分] ①式化简为.10分] 所以 ,[12分] 所以.13分] 16.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)由A餐厅分数的频率分布直方图,得对A餐厅评分低于的频率为,[ 2分] 所以,对A餐厅评分低于的人数为.3分] (Ⅱ)对B餐厅评分在范围内的有2人,设为;

对B餐厅评分在范围内的有3人,设为. 从这5人中随机选出2人的选法为: 共10种.[ 7分] 其中,恰有1人评分在范围内的选法为:,,

,,

,,

共6种.[ 9分] 故2人中恰有1人评分在范围内的概率为.[10分] (Ⅲ)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看: 由(Ⅰ)得,抽样的100人中,A餐厅评分低于的人数为, 所以,A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为. B餐厅评分低于的人数为, 所以,B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为. 所以会选择B餐厅用餐.13分] 注:本题答案不唯一.只要考生言之合理即可. 17.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)因为是首项为,公差为的等差数列, 所以 .[ 2分] 因为 是首项为,公比为的等比数列, 所以.[ 4分] 所以.[ 5分] 因为 是等差数列, 所以,[ 6分] 即 ,解得 .[ 7分] 经检验,时,,

所以是等差数列.[ 8分] (Ⅱ)由(Ⅰ)知. 所以.[10分] 当时,.[11分] 当时,.[13分] 18.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)因为为矩形,所以.[ 1分] 又因为,[ 2分] 所以平面.[ 3分] 所以.[ 4分] (Ⅱ)因为为矩形,所以,[ 5分] 所以平面.[ 7分] 又因为平面平面, 所以.[ 8分] (Ⅲ)平面与平面可以垂直.证明如下:[ 9分] 连接.因为,,

所以平面.[10分] 所以. 因为,所以.[11分] 因为平面平面, 若使平面平面, 则平面,所以.[12分] 在梯形中,因为,,

,,

所以. 所以若使能成立,则为的中点. 所以.[14分] 19.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)函数的定义域是,且,且.[ 2分] 当时,曲线存在斜率为的切线.证明如下:[ 3分] 曲线存在斜率为的切线方程存在上的解. 令,整理得, 解得,或. 所以当时,曲线存在斜率为的切线.[ 5分] 注:本题答案不唯一,只要均符合要求. (Ⅱ)由(Ⅰ)得.①当时,恒成立, 函数在区间和上单调递增,无极值,不合题意.[ 6分] ②当时,令,整理得. 由, 所以,上述方程必有两个不相等的实数解,,

不妨设. 由得.[ 8分] ,的变化情况如下表: J 极大值 K K 极小值 J 所以,存在极大值,极小值.[10分] . [11分] 因为,且, 所以,,

所以 . 所以的极小值大于极大值.[13分] 20.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为. 因为椭圆的离心率是, 所以 , 即.[ 1分] 由 解得 [ 3分] 所以椭圆的方程为.[ 4分] (Ⅱ)将代入, 消去整理得.[ 5分] 令,解得. 设. 则,. 所以 .[ 6分] 点到直线的距离为. [ 7分] 所以的面积 ,[ 8分] 当且仅当时,. 所以的面积的最大值是.[ 9分] (Ⅲ).证明如下:[10分] 设直线,的斜率分别是,,

则.[11分] 由(Ⅱ)得,所以直线,的倾斜角互补.[13分] 所以, 所以. 所以.[14分] ........