PDF《纸拱桥结构模型优化建模分析》

1 所示的拱, 计算跨径为 l, 矢高为 f. 因拱自身重 量与外载相比很轻,故可视为承受均布荷载,用q表示、纸 材弹性模量为 E,材料极限强度即最大容许应力为 [σ]. 拱 圈截面采用双轴对称截面, 面积 A(x), 抗弯抵抗矩为 W(x). 又设拱轴线方程为 y(x). 以上材料参数是已知的, 跨径已知. 由拱的受力特性,矢高大的轴力相对小,故采用尽可能大的 矢高. 为了方便分析, 建筑限高用 f0 表示, 拱顶的截面高度 设为 D, 则矢高为 f = f0 ? D/2. 为了简化分析, 根据拱的 经验设计值先给定一个合理的 D 值. 现在用数学规划思想 来表述寻求满足竞赛规则的最优拱结构, 它具有结构最轻的 特点. 那么, 其数学规划式为 [6] ?nd y(x), A(x), W(x) min G = l

0 A(x)(1 + y

2 (x))

1 2 dx s.t.

0 σ(y(x), A(x), W(x)) [σ] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1) 其中,G 表示结构的体积,与质量最小等效. 为了能尽量使 拱截面应力均匀, 要求设计的拱结构任意截面上均只有压应 力, 并假定压应力为正. 上式实际上就是结构优化的满应力 准则法 [5] . 图1抛物线形拱 上式的求解是十分困难的, 为了减少需要决策的变量或 自变函数, 使数学规划的求解变得简单些,我们要运用力学 原理来进一步简化. 下面来分析拱的受力,以求合理的拱轴 线和约束集函数 σ 的表达式. 如图

2 选取一隔离体进行分 析, 由平衡原理有 H(x) = H0 V (x) = V0 ? qx = q l

2 ? x M(x) = V0x ? H0y(x) ? qx2

2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) 图2隔离体受力 如果要截面在破坏时材料充分利用,最理想的状态当 然是全截面均匀受压,拱圈截面仅受轴力,没有弯矩. 即M(x) = 0, 由此解得 y = ? 4f l2 (x2 ? lx) (3) 第4期舒小娟等:纸拱桥结构模型优化建模分析 ―― 大学生结构设计竞赛谈

91 是一条二次抛物线,这就是结构力学和桥梁工程知识点:二 次抛物线拱在均布荷载作用下, 拱轴线与压力线重合 [7] . 如此, 自变函数 y(x) 也不再是决策变量. 既然拱只受轴力, 不 受弯矩, 则其应力只与 A(x) 有关, 与W(x) 无关. 任意截面 的应力计算式为 σ(x) = N(x) A(x) = (V

2 (x) + H2 (x))

1 2 A(x) = ql A(x)

1 2 ? x l

2 + l 8f

2 1

2 (4) 这样, 此结构优化问题实际上便简化为第一个层次的截 面尺寸优化问题. 将式 (3) 求导、式(4) 代入到式 (1) 中, 就得到显式的数学优化式, 式中, 只有 A(x) 是决策变量 (自 变函数). 2.3 决策变量 (拱圈面积函数) 的求解 本例的求解较为特殊. 分析目标函数的特点,它是一个 积分形式, 其被积函数由两个均大于

0 的函数相乘构成, 不 难理解,两个越小的数相乘得到的积分值越小. 那么,后面 一部分表示弧长, 决定于已知的 y(x) 函数, 故应将面积尽量 取到最小. 截面所能取到的最小面积实际上由应力约束条件 决定, 即当 σ(x) = [σ] 时, A(x) 取到最小. 将此条件代入式 (4),解得 A(x) = ql [σ]

1 2 ? x l

2 +

1 8f

2 1

2 (5) 这里得到的是一个解析解. 这种应力约束下的最小重量 结构经常被称为 Michell 结构 [5] . 但是在实际工程中,能够 得到解析解的这种结构并不多,而且它仅限于单工况. 考虑 实际施工上的困难, 上述最优拱结构实际上是不可能实现的. 首先曲杆的制作难, 要使杆件面积按函数关系渐次变化亦难 实现. 此外,真实荷载作用到拱上不会是均布荷载,因为荷 载要通过吊杆传递到拱上,而吊杆不连续,因而拱结构实际 上会做成折杆结构,每根杆件沿长形状面积相等. 这样,在 特定的若干等间距吊杆布置下, 结构优化的决策变量变成了 各节点 y 坐标与各杆件面积. 显然,当节点数趋于无穷时,优化决策解就等于式 (3) 和式 (5) 的解, 那么, 在一定数量的节点下, 节点位置优化结 果可在式 (3) 线的上下一定空间内寻求到一个近似优化解. 可以在抛物线上选择一系列点作为初值, 然后设定一定的寻 优路径,采用数值迭代的方法求解. 直接采用抛物线计算的 节点坐标,也是一个近优解. 杆件面积亦然. 结合制作难度与时间考虑, 将结构设计为双肢平行拱结 构, 拱脚和拱顶附近采用横撑联系成为整体. 每肋按水平