PDF《第二章 静电场》

第二章 静电场 在给定的自由电荷分布以及 空间介质和导体分布的情况 下怎样求解静电场.

内容提要1静电场的标势

2 1.1 静电标势的引入

2 1.2 电场强度与电势

3 1.3 关于电势的讨论

3 1.4 连续分布电荷的电势

3 1.5 静电势的微分方程和边值关系

4 1.6 导体的静电条件

4 1.7 静电场的能量

5 1.8 小结

6 2 静电场的唯一性定理

6 2.1 唯一性定理的表述

6 2.2 关于唯一性定理的讨论

6 2.3 唯一性定理的证明

7 2.4 有导体存在时的唯一性定理

8 2.5 第一类型问题的证明

8 2.6 第二类型问题的证明

9 2.7 小结

10 3 分离变量法

10 3.1 拉普拉斯(Laplace)方程

10 3.2 球坐标下的分离变量法

11 3.3 拉普拉斯方程的通解

11 3.4 勒让德函数

12 3.5 例一

12 3.6 例二

15 3.7 小结

16 4 镜象法

16 4.1 镜象法求解静电边值问题

16 4.2 例一

17 4.3 例二

17 4.4 例三

18 4.5 例四

19 4.6 边界条件小结

19 4.7 小结

20 1

5 格林(Green)函数

20 5.1 δ函数的性质

20 5.2 格林函数的定义

20 5.3 特定区域的格林函数例子

21 5.4 格林公式

22 5.5 由格林公式求解第一类边值问题

22 5.6 对格林函数法的讨论

23 5.7 例23 5.8 小结

24 6 电多极矩

24 6.1 电的多极展开

24 6.2 电多极矩

25 6.3 电偶极矩

26 6.4 电四极矩

27 6.5 将电四极矩化为无迹对称张量

27 6.6 电荷体系在外电场中的能量

28 6.7 关于电多极矩的讨论

29 6.8 小结

30 第第第一 一 一节 节节静静静电 电 电场 场 场的 的 的标 标 标势 势势引入?的好处:简单,矢量 到标量 § 1.1 静电标势的引入 静电场的麦克斯韦方程组: ? ・ D = ρ , ? * E =

0 静电场是无旋的?可以用一个标势来描述静电场;

? 电场沿任一闭合回路的环量积分等于零: E ・ dl =

0 ? 电荷由P1移至P2时电场所作的功与路径无关,而只和两端点有关. C1 E ・ dl ? C2 E ・ dl =

0 ? C1 E ・ dl = C2 E ・ dl ? 把单位正电荷由P1移至P2,电场所作的功定义为P1至P2的电势差: 负号的指代电场对电荷作正 功则电势下降 这是电势定义的积分形式 ?(P2) ? ?(P1) = ? P2 P1 E ・ dl

2 § 1.2 电场强度E与电势? 相距为dl的两点间电势差为: d? = ?E ・ dl 由于 d? = ?? ?x dx + ?? ?y dy + ?? ?z dz = ?? ・ dl 比较可知 E = ??? 只有势的差值才有物理意义. 一般参考点的选取无穷远或地(? ∝

1 r ) 电场强度E与电势?可以互 相求得 ?(P) = ∞ P E ・ dl § 1.3 关于电势的讨论 电势参考点的选择无穷远和地是统一的;

? 大地是半径无穷大的导体,故此大地也是无穷点;

? 用半径为无穷大导体模型可说明无穷远点和地电势相同;

电势?能否替代电场强度E? 仅在静 静 静电情况下可以. 在电荷密度为零的空间中不存在电势的极值;

§ 1.4 连续分布电荷的电势 点电荷的电场强度 E = Q 4πε0 r r3 点电荷的电势 ? = Q 4πε0

1 r 电势同样满足叠加性原理,多个电荷的电势 什么是线性?那个量是线性 的? ?(P) = i Qi 4πε0

1 ri 连续分布电荷的电势 ?(x) = ρ(x ) dV 4πε0r 对于实际情况,上式是不够的: ? 导体(或介质)中的感应电荷(束缚电荷)并不是明确可知的;

? 电势的微分形式有助于研究其性质;

3 § 1.5 静电势的微分方程和边值关系 在均匀各向同性线性介质中: 如此限制介质有无必要? ?2 ? = ? ρ ε0 称之为泊松(Poisson)方程 除了方程,还需要有边界条 件 需要几个边条件? 电场的边值关系 n * (E2 ? E1) =