PDF《第四章》

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第四章 角动量定理 天体运动

2 §4.

1 角动量定理 4.1.1 质点角动量定理 质点的运动状态: ) , ( v r v v r d F v v m d dt F v m d v v v v v v ? ? ? ? )

2 1 ( ) ( 相对某参考点的转动:相对某参考点的位置矢量r 速度v r v v v 运动 转动

3 惯性系 S 中的一个运动质点 在运动过程中相对某参考点O的径矢 r 会相应的旋转 在dt 时间 质点位移为 vdt,转过角度dθ r 便会扫过面积 dS dt v r dS v v * =

2 1 面积速度 v r dt dS v v * = =

2 1 κ ) (t r v dt v v ) ( dt t r + v θ d O 动量定理 动量 速度 ? ? 角动量定理 角动量 面积速度 ? ?

4 质点在 S 系中相对参考点O的角动量 L p r v m r L v v v v v * = * = 角动量随时间的变化与什么有关呢? dt p d r p dt r d dt p r d dt L d v v v v v v v * + * = * = ) ( 其中 F dt p d p v p dt r d v v v v v v = = * = * ,

0 F r dt L d v v v * = ? r v p v L v

5 质点所受力相对参考点 O 的力矩 F r M v v v * = 质点角动量定理: 质点所受力相对某参考点的力矩 等于质点相对该参考点角动量的变化率. dt L d M v v = 处理转动的所有公式都是从这个公式导出

6 θ h 力矩 Fh rF M = = θ sin 力臂 h:点O到力 F 作用线的距离. 在直角坐标系中,M 可用行列式表述成 z y x F z k F y j F x i F r M v v v v v v = * = 它的三个分量: L L , x y z yF xF M ? = r v F v

7 质点所受各分力Fi相对同一参考点的力矩之和, 等于合力F相对该参考点的力矩. M F r F r F r M i i i i i i v v v v v v v v = * = * = * = ∑ ∑ ∑ 两质点之间一对作用力与反作用力 相对于同一参考点力矩之和必为零.

0 ) (

2 21

2 1

2 2

2 2

1 2

2 1

1 = * = * ? = * + * ? = * + * F r F r r F r F r F r F r v v v v v v v v v v v v v

1 r v

2 r v

21 r v

1 F v

2 F v

1 2

8 若过程中 M 恒为零,则过程中 L 为守恒量 若过程中 Mz 恒为零,则过程中 Lz 为守恒量 常矢量 = ? = L M v v

0 有心力:质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O,O为力心. 常量 = ? = z z L M

0 9 例1 相对不同参考点A、B,计算重力矩和角动量 A B v v g m v

1 d

2 d 参考点A: 重力矩 ? =

1 mgd M 角动量

0 = L v 参考点B: 重力矩 ? =

1 mgd M 角动量 ? =

2 mvd L

10 例2 匀速圆周运动 O O′ 选择圆心O为参考点 力矩

0 = M v 角动量 mvR L = R 心Fvvv⊙其它任何点则没有这种情况 角动量守恒

11 例3 地球绕太阳公转 选择太阳为参考点 万有引力的力矩为零 C L M v v v = =

0 12 例4 θ O O′ 圆锥摆如图,摆线长l,小球质量m, 取悬挂点O为参考点, 求摆球所受力矩和摆球角动量. l T v g m v 摆球受张力和重力 张力对O点力矩为零 摆球所受力矩 θ sin mgl M = ⊙ 摆球角动量 mvl L = 方向如图 L v 选另一参考点 O′

13 例5 θ O l T v g m v ⊙ z dt d ml mlv L mgl M z z θ θ

2 sin = = ? = 导出单摆的摆动方程 力矩和角动量都只有 z 轴分量 采用小角度近似 θ θ ≈ sin θ θ l g dt d ? =

2 2 利用角动量定理

14 例6 O A

0 v v

0 r T v 小球绕O作圆周运动,如图所示. (1)求B端所受竖直向下的外力T0 (2) T0极缓慢增到 2T0,求v (3)用功的定义式求拉力所作的功. B 分析物理过程 以O为参考点,力矩为零,角动量守恒. T0极缓慢增大,径向速度可略,中间过程近似为圆周运动.

15 O A

0 v v

0 r T v B 解(1)

0 2

0 0 r v m T = (2) 角动量守恒

0 0r mv mvr = 圆周运动

0 2

0 0

2 2