PDF《第四章》

2 r mv T r mv = =

3 0

0 3

2 ,

2 r r v v = = ?

16 (3)拉动过程中,小球作螺旋线运动 Tdr r d T dW ? = ? = v v

3 2

0 2

0 2 r r mv r mv T = = )

1 4 (

2 1

3 2

0 2 /

3 2

0 2

0 3

0 0 ? = ? = ∫ mv dr r r mv W r r 它恰好等于小球的动能增量 )

1 4 (

2 1

2 1

2 1

3 2

0 2

0 2 ? = ? = mv mv mv Ek

17

第四章作业 A组

4、

6、

8、

9、10

13 、

14、

15、16 B组

24、

26、

30、32

18 4.1.1 质点系角动量定理 角动量守恒定律 在惯性系S中,质点系相对O点的角动量 L ∑ = i i L L v v

0 = 内Mv质点系角动量定理: 质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和 等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率. dt L d M v v = 外19 质点系角动量守恒定律 若过程中M外恒为零,则过程中L为守恒量. 若过程中M外x(或M外y,M外z)恒为零, 则过程中Lx(或Ly,或Lz)为守恒量. 非惯性系中质点系的角动量定理 dt L d M M v v v = + 外惯20 例7 l l h

1 m

2 m 质量可略、长2l的跷跷板 静坐着两少年,左重右轻, 左端少年用脚蹬地, 获得顺时针方向角速度ω0. 求ω0至少多大时,右端少年可着地? θ z ? O 力矩 θ θ cos cos

2 1 gl m gl m Mz + ? = 系统角动量 ω

2 2

1 ) ( l m m Lz + =

21 角动量定理 θ ω ω ω d d l m m dt d l m m dt dL M z z

2 2

1 2

2 1 ) ( ) ( + = + = = 积分 ( ) ∫ ∫ + = ? + ? ?

0 2

2 1

2 1

0 0

0 ) ( ) ( cos ) ( ω θ θ ω ω θ θ d l m m d gl m m l h =

0 sinθ

2 0

2 2

1 2

1 ) (

2 1 ) (

2 ω l m m gh m m + = ? 此即机械能守恒

2 1

2 1

0 ) (

2 m m gh m m l + ? = ω

22 例8 水平大圆盘绕中心竖直轴 以角速度ω旋转,质量m的 小球从中心出发,沿阿基米德螺 线运动,角动量 L 守恒. 试求小球所受真实力的 横向分量和径向分量. 阿基米德螺线 αθ = r O 角动量 L 守恒 dt d mr L θ

2 = ⊙ ω m

2 2 , ? ? = = = r m L dt d dt dr r m L dt d α θ α θ

23 5

2 2

2 2

2 5

2 2

2 2

2 ,

2 ? ? ? = ? = r m L dt r d r m L dt d α α θ 圆盘系中小球所受合力 ω ω v v v v * + + v m r m F

2 2 合力的横向分量 合力的径向分量 ω θ r mv F

2 ? ω ω θ mv mr Fr

2 2 + + 角动量 L 守恒,横向力为零

2 2

2 ? = = Lr mv F r αω ω θ 径向力应合成mar

3 2

2 2

1 2

2 2

2 2 )

2 1 (

2 2 ? ? ? + ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = r r m L r L mr mv mr dt d r dt r d m Fr α ω ω ω ω θ θ

24 4.1.3 外力矩 重心 对称球的外引力分布中心 外力矩是质点系角动量变化的原因 合力为零的外力矩 质点系所受外力的合力为零时,外力矩与参考点无关. O O′ R v 外外MFRFrFRrMiiiiiiiivvvvvvvvv=*?*=*?=′∑∑∑)(irvirv′iFv25 一对力偶 大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力

2 21

1 12 F r F r M v v v v v * = * = 力偶的力矩不依赖于参考点的选择

1 2

1 F v

2 F v

21 r v

12 r v

26 重心 位于rG的几何点称为质点系的重心 m r m r i i i G ∑ = v v 质量均匀分布,几何结构具有对称性的物体,重心位于其几何中心

27 质点系各质点重力的冲量和等于质点系重力的冲量 质点系各质点重力作功之和 等于质点系重力作用于重心处所作的功 G i i i i i i i i i r d g m r m d g r d m g r d g m v v v v v v v v ? = ? ? ? ? ? ? ? = ? = ? ∑ ∑ ∑ ) ( 重力势能 G i i i i i i mgh g h m gh m = ? ? ? ? ? ? = ∑ ∑ 重力的力矩 ( ) ( ) g m r g r m g r m g m r G G i i i i i i v v v v v v v v * = * = * ? ? ? ? ? ? = * ∑ ∑ ) ( 重心是质点系重力分布中心 猫的空中转体