PDF《第四章》

28 对称球的外引力分布中心 P 球心是对称球的外引力分布中心

29 例9 质量 M 的均匀麦管放在光滑桌面上,一半在桌面外. 质量 m 的小虫停在左端,而后爬到右端.随即另一小虫 轻轻地落在该端,麦管并未倾倒,试求第二个小虫的质量. 麦管长L,小虫相对麦管速度u,麦管相对桌面左行速度v 系统动量守恒 Mv v u m = ? ) ( 麦管移入桌面长度 L m M m udt m M m vdt x t t + = + = = ∫ ∫

0 0

30 分两种情况讨论: (1)

2 , L x m M ≥ ≤ 麦管全部进入桌面,第二个小虫可取任何值. (2)

2 , L x m M <

>

麦管和二个小虫相对桌边的重力矩应该满足 Mgx x L g m m <

? ? ? ? ? ? ? ′ +

2 ) ( ? m m M m M m ? + <

′

31 双摆

32 §4.2 对称性与守恒律 4.2.1 对称性

33 德国数学家魏尔(H. Weyl) 对称性:系统在某种变换下具有的不变性. 例 左右对称, 上下对称, 也称镜面对称

34 空间变换对称性 x O z y 系统相对点、线、面的变换

35 镜面反演对称性 镜面反演:对平面直角坐标系,仅取x到-x (或y到-y,或z到-z)的变换. 一个系统若在镜面反演变换下保持不变, 则称这一系统具有镜面反演对称性.

36 37 空间平移对称性 系统在空间平移,即在 ) ( 为常矢量 R R r r v v v v + → 变换下具有的不变性.

38 轴转动对称性(轴对称性) 系统在绕着某直线轴作任意角度旋转的变换下 具有的不变性.

39 壁纸的17种贴法(包含平移、反射、转动操作) 30°

6 hexagon p6m

17 none

6 hexagon p6

16 30°

3 + hexagon p3m1

15 60°

3 * hexagon p31m

14 none

3 hexagon p3

13 90°

4 * square p4g

12 45°

4 + square p4m

11 none

4 square p4

10 90°

2 rhombus cmm

9 none

2 rectangle pgg

8 parallel

2 rectangle pmg

7 90°

2 rectangle pmm

6 parallel none rhombus cm

5 none none rectangle pg

4 parallel none rectangle pm

3 none

2 parallelogrammatic p2

2 none none parallelogrammatic p1

1 Reflection axes Rotation orders Lattice type IUC notation Symmetry group + = all rotation centers lie on reflection axes * = not all rotation centers on reflection axes

40 cm p1 p2 pg pm pmm

41 p4g p4 p4m cmm pgg pmg

42 p6 p6m p31m p3 p3m1

43 空间反演对称性(点对称性) 系统在空间反演,即在 ) , , ( z z y y x x r r ? → ? → ? → ? → v v 变换下具有的不变性.

44 点转动对称性(球对称性) 系统在绕着某点作任意旋转的变换下 具有的不变性. R R 电场强度半径 均匀带电球体相对球心具有球对称性, 它的空间场强分布也具有此种对称性.

45 时间变换对称性 一维的时间只能改变方向和平移, 所以只有两种变换: 时间反演对称性 时间平移对称性 t t ? →

0 t t t + →

46 时间反演对称性 dt dt t t ? → ? ? → 时间反演即时间倒流 v v dt r d v v v v v ? → = , F F a a dt v d a v v v v v v → → = , , ) (t r v dt v v ) ( dt t r + v θ d O 过去 未来 过去 未来

1 2

47 牛顿第二定律具有时间反演对称性 经典力学中,与牛顿第二定律平行的是力的结构性定律 胡克定律、引力定律、库仑定律具有时间反演对称性 阻尼性作用定律给出的空气阻力、摩擦力等 不具有时间反演对称性 时间倒流在真实世界是不可能发生的 v f v v γ ? =

48 时间平移对称性 系统在时间平移,即在 变换下具有的不变性.

0 t t t + → 牛顿第二定律和力的结构性定律都具有时间平移对称性 自然界中除了与时空变换有关的对称性以外, 还有其它的对称性,物理学的后续课程中将会讨论.