PDF《2019 北京市海淀区高三一模数学（理科）考试逐题解析》

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2 数学期望: . 北京新东方优能中学&

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11 17.(本小题满分

14 分) 如图,在直三棱柱 中, , ,点,,

分别 为棱 , , 的中点. (Ⅰ)求证: 平面 ;

(Ⅱ)求证:平面 平面 ;

(Ⅲ) 在线段 上是否存在一点 , 使得直线 与平面 所成的角为 ?如果存在,求出线 段 的长;

如果不存在,说明理由. 【解析】 (I)连接 , , 分别为棱 , 的中点, , 又 平面 , 平面 , 平面 . 同理可证 平面 , 又 在直棱柱中 , 平面 , 又,平面 , 平面 , 平面 平面 ,又 平面 , 平面 . (II) 在平行四边形 中, , 平行四边形 为菱形, . 又由(I)知,,

又平面 , 平面 , , 又,,

平面 , 平面 , 平面 , 又 平面 , , 北京新东方优能中学&

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12 又,平面 , 平面 , 平面 , 又 平面 , 平面 平面 . (Ⅲ)在线段 上存在一点 ,使直线 与平面 成角 , 由(II)知, 平面 , 平面 , 平面 , , , 又,如图建立空间直角坐标系, 为原点, 易知: 设,,

,,

设平面 的法向量为 , , , 设 ,则 , 且,,

,,

化简得 , 或,又,符合题意, 假设成立, 线段 上存在一点 , ,使得直线 与平面 成角 . 北京新东方优能中学&

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13 18.(本小题满分

14 分) 已知函数 . (Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;

(Ⅱ)当时,求证:函数 存在极小值;

(Ⅲ)请直接写出函数 的零点个数. 【解析】 (Ⅰ) , , .所以 在 处的切线方程为 . (Ⅱ)令,,

因为 , .所以 , 所以 在 单调递增,即在单调递增. 因为 ,所以 在 存在唯一的零点 0. 当 变化时, , 变化情况如下: 极小 所以当 时, 存在极小值为 . (Ⅲ)当或时, 有 个零点. 当或时, 有 个零点. 北京新东方优能中学&

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14 19. (本小题满分

13 分) 已知抛物线 ,其中 .点在的焦点 的右侧,且到的准线的距离是 与 距离的 倍.经过点 的直线与抛物线 交于不同的 , 两点, 直线 与直线 交于点 ,经过点 且与直线 垂直的直线 交 轴于点 . (Ⅰ)求抛物线的方程和 的坐标;

(Ⅱ)判断直线 与直线 的位置关系,并说明理由. 【解析】 (Ⅰ)焦点 ,准线 ,由题意得 , , 抛物线的方程为 ,焦点 的坐标为 . (Ⅱ)①当 斜率不存在时, 方程为 , 此时 , , , , , , ,即,.②当 斜率存在时,设 方程为 , , , 联立 得 ,且 ,此时 , , , 由得,,

由得,,

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15 20. (本小题满分

13 分) 首项为 的无穷数列 同时满足下面两个条件: ① ;

② . (Ⅰ)请直接写出 的所有可能值;

(Ⅱ)记 ,若 ,对任意 成立,求 的通项公式;

(Ⅲ)对于给定的正整数 ,求 的最大值. 【解析】 (Ⅰ) 所有可能取值为 , , . (Ⅱ) , 当时, 成立,当时, 成立, 假设,当时, 成立 ,则,.,且 , ,即,时成立, , . (Ⅲ) , 当时, , , , 当时, , , , 当时, 最大为正数,由(Ⅱ)中已知,当为偶数项时均为正数, , , , , 只有当 时,此时 最大值为 , 当 为偶数时: , 当 为奇数时: . ........