PDF《何静几类高阶线性微分方程亚纯解的迭代级》

第36 卷第6期江西师范大学学报(自然科学版) Vol.

36 No.6

2012 年11 月Journal of Jiangxi Normal University (Natural Science) Nov.

2012 收稿日期: 2012-04-05 基金项目: 国家自然科学基金(11126145), 江西省自然科学基金(20114BAB211003)和江西省教育厅青年科学基金(GJJ11072)资助项目. 作者简介: 郑秀敏(1980-), 女, 江西上饶人, 副教授, 博士, 主要从事复分析的研究. 文章编号: 1000-5862(2012)06-0584-05 几类高阶线性微分方程亚纯解的迭代级 何静, 郑秀敏 * (江西师范大学数学与信息科学学院, 江西 南昌, 330022) 摘要: 研究了几类具有迭代级亚纯函数系数的高阶线性微分方程亚纯解的增长性和零点分布问题, 当系数 a0 或ad 对其它系数起支配作用时, 得到了方程满足一定条件的亚纯解的迭代级的一些结果, 所得结果推广了 前人已有结果. 关键词: 线性微分方程;

亚纯解;

迭代级;

迭代零点收敛指数 中图分类号: O 174.52 文献标志码: A

0 引言与结果 微分方程的复振荡理论是应用复分析理论来 研究复域微分方程解的振荡性质. 该理论的研究 始于

20 世纪

80 年代, 从研究

2 阶齐次线性微分 方程解的性质开始, 渐渐地转到研究高阶微分方 程解的性质[1-2] . 对于微分方程大量存在的无穷 级亚 纯解,只用级和零点收敛指数来估计是粗糙的,因而又引进了超级和迭代级来对方程的解进行精确估计.本文使用值分布理论的标准记号及以下 几个 定义[3-6] . 为 了方 便,对任 给的 (0, ) r ∈ +∞ , 记011101111exp ,exp e , exp exp(exp ),exp log ;

log ,log log , log log(log ),log exp . r l l l l r r r r r r r r r r r r r r r + ? + ? = = = = = = = = 定义

1 设p是正整数, 亚纯函数 ( ) f z 的迭代级 ( ) p f σ 定义为 ( ) ( ) lim log , / log . p p r f T r f r σ + →∞ = 注1(i)

1 ;

f f σ σ = (ii) 当()fz为整函数时, ( ) ( ) ( )

1 log , log , lim lim . log log p p p r r T r f M r f f r r σ + + + →∞ →∞ = = 定义

2 亚纯函数 ( ) f z 的迭代级的增长指标为 ( ) ( ) { } ( ) ( ) , 0, , , min : , , . , n n f f n i f n f f n f σ σ σ ? ? ? ? ∈ ? = ∈ <

∞ ? <

∞ ? ∈ ? ? ? = ∞ ? ∞ N N N 是有理函数 是超越亚纯函数 且存在某个 使得 对于所有的 都有 注2仿定义

1 和定义

2 可得亚纯函数 ( ) f z 的迭 代下级 ( ) p f μ 及其增长指标 ( ) i f μ 的定义. 定义

3 设p是正整数, 亚纯函数 ( ) f z 的a值点 序列的迭代收敛指数 ( ) p f a λ ? 定义为 ( ) ( ) ( ) log ,1/( ) , lim . log p p p r N r f a f a f a r λ λ + →∞ ? ? = = 亚纯函数 ( ) f z 的不同 a 值点序列的迭代收敛 指数 ( ) p f a λ ? 定义为 ( ) ( ) ( ) log ,1/( ) , lim . log p p p r N r f a f a f a r λ λ + →∞ ? ? = = 注3(i)

1 ;

f a f a λ λ ? = ? (ii)

1 . f a f a λ λ ? = ? 定义

4 亚纯函数 ( ) f z 的a值点序列的迭代收敛 指数的增长指标 ( ) i f a λ ? 定义为 第6期何静, 等: 几类高阶线性微分方程亚纯解的迭代级

585 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ,1/( ) log , : , min , . , n n n n r f a O r n n f a i f a f a n f a λ λ λ λ ? = ? ? ? ∈ ? ∈ ? ? ? =? ? ? ? <

∞ ? ? ? ? ? ∈ ? ? ? = ∞ ∞ ? N N N 使得 对于所有的 都有 注4仿定义

4 可得亚纯函数 ( ) f z 的不同 a 值点 序列的迭代收敛指数的增长指标 ( ) i f a λ ? 定义. 对于线性微分方程大量的无穷级亚纯解, 如何 更精确地估计其增长性, 陈玉等在文献[7]中研究了 高阶线性微分方程 ( ) ( )