PDF《何静几类高阶线性微分方程亚纯解的迭代级》

1 1 . p p f f λ σ + + = 显然 ( ) ( )

1 1 p p f f λ λ + + ≤ ≤ ( )

1 p f σ + .又因

0 F ≡ / , 可将方程(2)改写为 ( ) ( )

1 1

0 1

1 , k k k f f a a f F f f ? ? ? ? = + + + ? ? ? ? ? ? (13) 由(13)式易知

1 0 ,1/ ,1/ ,1/ , , k j j n r f kn r f n r F n r a ? = + + ∑ ≤

1 0 ,1/ ,1/ ,1/ , . k j j N r f kN r f N r F N r a ? = + + ∑ ≤ (14) 由(13)式及对数导数引理知, 至多除去

1 个线性 测度为有限的集合 3, E 对所有

3 r E ? , 有 { }

1 0 ,1/ ,1/ , log , . k j j m r f m r F m r a O rT r f ? = + + ∑ ≤ (15) 由(14)式和(15)式可知 , ,1/

1 ,1/ , T r f T r f O kN r f T r F = + + + ≤ ( ) ( ) { }

1 0 , log , . k j j T r a O rT r f ? = + ∑ (16) 当r充分大时, 将(){}()log , , /

2 O rT r f T r f ≤ 代入(16)式, 并由题设条件和引理1可知 ( ) ( )

1 1 . p p f f λ σ + + ≥ 从而

1 1

1 0 p p p p f f f a λ λ σ σ + + + = = ≤ . 假设有方程(2)的解 ( )

1 2

1 2 , f f f f ≠ 满足 ( )

1 1 p f σ + <

0 1

2 0 , p p p a f a σ σ σ + <

, 则()112pffσ+?≤()(){}1112max , p p f f σ σ + + ( )

0 p a σ <

. 而12ff?是方 程(2)对应齐次方程的解, 由定理

1 证明的第

1 部分 可知 ( ) ( )

1 1

2 0 , p p f f a σ σ + ? ≥ 于是矛盾. 即至多除去

1 个例外解, 其它所有亚纯解 ( )

0 f ≡ / 有()1pfλ+=

1 1

0 . p p p f f a λ σ σ + + = = 定理

2 证毕. 定理

3 的证明 由于方程(1)的所有解为亚纯函数, 设{ }

1 2 , , , k f f f 为方程(1)的基础解系, 由引理

5 有()(){}(),log max , ,1 . d n m r a M T r f n k ≤ ≤ ≤ 因为 ( ) 1/ d i a p λ <

或()()1/ , p d p d a a λ σ <

所以 ( ) lim log , / p d r m r a →∞ ( ) lo........