PDF《何静几类高阶线性微分方程亚纯解的迭代级》

1 1

0 0 k k k f a f a f ? ? 1) 和()()110kkkfafafF??2) 的亚纯解的超级和超级零点收敛指数, 得到以下 结果. 定理 A 假设

0 1

1 , , , k a a a ? 是亚纯函数, 满足

0 1, ,

1 j a a j k σ σ <

∞ = ? ≤ 且()0lim log , / r m r a →∞ ( )

0 log . r a σ = 如果 ( )

0 f ≡ / 是微分方程(1)的亚纯解, 且()()1/ f f λ μ <

, 则

2 0 , . f f a σ σ σ = ∞ = 定理 B 假设 ( )

0 1

1 , , , ,

0 k a a a F ? ≡ / 是有穷级亚 纯函数, 满足

0 1, ,

1 j a a j k σ σ <

= ? .如果微 分方程(2)的所有解 ( )

0 f ≡ / 是亚纯解, 且()1/ f λ <

( ) f μ , ( ) f σ = ∞ , 则(i) f f f λ λ σ = = = +∞ (ii)

2 2

2 0 f f f a λ λ σ σ = = ≤ . 若()0lim log , / log r m r a r →∞ = ( )

0 a σ , 则()2fλ=

2 2

0 f f a λ σ σ = = , 至多除去

1 个例外. 定理 C 假设

0 1

1 , , , k a a a ? 是亚纯函数, 存在某个 超越亚纯函数{}()0, ,

1 d a d k ∈ ? , 满足()jaσ时, 有()(). F r G r α ≤ 引理 2[8] 设p是正整数, / f z g z d z = 是亚纯函数,其中()gz和()dz是整函数且满足 , p p p p g f g f i d p μ μ μ σ σ ≤ 或()idp=且().pdσρμ= , 有(){}{}()(){}( )

1 2 exp exp | | exp , p p f p f p r f z r r E σ ε σ ε + ? + ? ? ≤ ≤ 其中

2 E 是1个有限线性测度的 r 值集合. 引理 4[10] 假设整函数 ( ) g z 满足 ( ) ( )

0 i g p p = <

存在1个有限线性测度的集合

2 , E 当2zrE=?且r充分大时, 有()(){}0exp p a j p a z r σ ε + ≤ ( ) 0, ,

1 . j k = ? (8) 由(7)式和(8)式可知, 当z满足 [ ]

1 2 0,1 z r E E = ? ∪ ∪ 且 → = r g r M z g , , 时, 有 { }

0 1

1 1

1 exp . p a k g p r o kr o r σ ε υ + + + ≤ (9) 由(9)式及引理

1 和引理

4 可得 ( ) ( )

1 1 p p f g σ σ + + = ≤ ( )

0 p a σ ε + , 根据 ε 的任意性可知 ( ) ( )

1 0 . p p f a σ σ + ≤ 第6期何静, 等: 几类高阶线性微分方程亚纯解的迭代级

587 从而 ( ) ( )

1 0 . p p f a σ σ + = 定理

1 证毕. 定理

2 的证明 先证()()10.ppfaσσ+≤由Hadamard 定理, f 可表示成 / f z g z d z = , 其中 ( ) ( ) , g z d z 为整函数, 满足 p p p f g g μ μ σ = = ≤ ( ) ( ) , p p f d σ σ 1/ p p f f λ μ <

.由引理 2, 取点 z 满足zr=及 , , g g z M r g r υ = 表示整函数()gz的中心指标, 则存在

1 个对数测度有限的集合 ( )

1 1, E ? ∞ , 当[]10,1 z r E = ? ∪ 时, 有(5)式成立.将(2)式改写为 ( ) ( )

1 1

1 0 , k k k f f f F a a a f f f f ? ? ′ 10) 将(5)式代入(10)式得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1

1 1 k k g g k r r o a o z z υ υ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( )

1 0

1 1 . g r F a o a z f υ ? ? + + ? ? ? ? ? ? ? (11) 由引理

3 知,

0 ε ? >

, 存在

1 个有限线性测度的 集合

2 , E ( ) ( )

2 , , z r E g z M r g = ? = 且r→∞时有(8) 式成立, 并且有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) { } , exp exp . exp q p p F d p p g p F z d z F z F z d z f z g z M r g r r r σ ε σ ε μ ε + + ? = = ≤ 因 (1/ ) , p p p p d f f g σ λ μ μ = <

= 故可取 ε 满足 ( ) ( ) ( )

0 / 2, p p g d ε μ σ <

<

? 从而有 { } ( ) { }

0 / exp exp q p F a p p F z f z r r σ ε σ ε + + ≤ ≤ .(12) 由(8), (11)及(12)式可知, 当[]120,1 z r E E = ? ∪ ∪ 且()(),,

gzMrgr=→∞时, 有(9)式成立.又由(9)式 及引理

1 和引理

4 易知 ( ) ( )

1 0 p p f a σ σ + ≤ . 下证 ( ) ( )