PDF《金融工程》

14 ? ? ? ? x a t b t = + ? a t ? b t

2 ?t b b T

2 b T Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 扩散过程(diffusion process) 扩散过程 其中 和为xt和t的确定性函数

15 ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , = + = + + ∫ ∫

0 0

0 t t t t t t t s s s dx a x t dt b x t dz x x a x s ds b x s dz ( ) , t a x t ( ) , t b x t Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 伊藤过程( It? Process ) 伊藤过程 其中, 是一个标准布朗运动, a 、 b 是满足 一定正则性条件的任意函数或随机过程

16 dz = + =+ + ∫ ∫

0 0

0 t t t t t t t s s s dx a dt b dz x x a ds b dz

2 0

0 , t t s s a ds b ds ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 几何布朗运动( Geometric Brownian Motion ) 几何布朗运动 其中 ? 和σ均为常数 一般用几何布朗运动描述股票价格的随机过程 可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问 题 几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态 分布,这与实际较为吻合

17 = + ? ? t t t t dS S dt S dz Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 单变量It?-Doeblin Lemma 若变量 x 遵循伊藤过程, 则变量 x 和t的函数 G 将遵循如下过程: 前提条件是上述导数都存在并连续.其中, dzt是一个标准布朗运动.

18 ? ? ? ? ? ? = + + + ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2

2 1

2 t t t t t G G G G dG a b dt b dz x t x x = + t t t t dx a dt b dz Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 证明(1)泰勒展开 G 的泰勒展开式为:

19 ? ? ? = + + ? ? ? ? ? + + + ? ? ? ?

2 2

2 2

2 2

2 1

2 1

2 ? ? ? ? ? ? ? t t t t G G G G x t x x t x G G x t t x t t Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU (2)忽略比 ?t 高阶的项 在常微分中,我们得到 在随机微分中,我们得到: 其中,最后一项的阶数为 ?t

20 ? ? = + ? ? ? ? ? t t G G G x t x t ? ? ? = + + ? ? ?

2 2

2 1

2 ? ? ? ? t t t G G G G x t x x t x Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU (3)将?x 代入 将 代入最后一项,并忽略比 ?t 高阶的项,则 由于 而 的方差和 同阶,可以忽略,因此有

21 x a t b t ? ? ? ? = + ? ? ? = + + ? ? ?

2 2

2 2

1 2 ? ? ? ? ? t t t G G G G x t b t x t x ( ) ( ) ~ , , , , E E E E E t t ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? = ? ? ? ? = =

2 2

2 2

0 1

0 1 1因此 ? ? ? = + + ? ? ?

2 2

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2 ? ? ? ? t t t G G G G x t b t x t x

2 t ε ?

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2019 Zheng, Zhenlong,XMU (4)取极限 取极限 代入 可得

22 ? ? ? = + + ? ? ?

2 2

2 1

2 t t t G G G dG dx dt b dt x t x = + t t t t dx a dt b dz ? ? ? ? ? ? = + + + ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2

2 1

2 t t t t t G G G G dG a b dt b dz x t x x Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU It?-Doeblin引理的运用 如果我们知道 xt 遵循的伊藤过程,通过It?- Doeblin引理可以推导出 G(x, t) 遵循的随机过程 由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函 数,因此It?-Doeblin引理在衍生产品分析中扮 演重要角色

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2019 Zheng, Zhenlong,XMU 应用1:衍生品价格所服从的随机过程 当股票价格服从几何布朗运动 根据It?-Doeblin引理 衍生证券价格 G 和股票价格 S 都受同一个不确 定性来源 ?? 的影响

24 = + ? ? t t t t dS S dt S dz ? ? ? ? ? ? = + + + ? ? ? ? ? ? ? ?

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1 2 ? ? ? t t t t t G G G G dG S S dt S dz S t S S Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 应用2 : F 所遵循的随机过程 假设变量 S 服从几何布朗运动,r为常数 由于 ,则 运用It?-Doeblin引理可得 r为常数时,远期(期货)价格的漂移率比标的资 产小 r.