PDF《金融工程》

25 = + ? ? t t t t dS Sdt Sdz ( ) ? = r T t t t F Se ( ) , , ? ? ? ? = = = ? ? ? ?

2 2

0 r T t t F F F e rF S S t ( ) = ? + ? ? t t t t dF r Fdt Fdz Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 应用3 : ln St 所遵循的随机过程 假设变量 St 服从几何布朗运动 令 ,则 运用伊藤引理可得 所遵循的随机过程为 说明连续复利收益率 服从期望值 方 差为 的正态分布 注意:

26 = + ? ? t t t t dS S dt S dz ln = t t G S , , ? ? ? = = ? = ? ? ?

2 2

2 1

1 0 t t G G G S S S S t ln = t t G S ln ? ? = = ? + ? ? ? ?

2 2 ? ? ? t t t dG d S dt dz ln t d S dt ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2 dt ?2 ln ≠ t t t dS d S S Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 为何采用几何布朗运动? (1)股票连续复利收益率服从正态分布. T ? t 期间的连续复利收益率可以表示为(注意未年化) 该随机变量 ηt 服从正态分布 σ 是股票连续复利收益率的年化标准差,也被称为股票 价格对数的波动率( Volatility )

27 ln ln = ? ?t T t S S ( ) ~ , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2 ? ? ? ? ? t T t T t Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 股票价格的对数服从普通布朗运动,特定时刻的股 票价格服从对数正态分布. ? 是?t 时间内股票价格百分比的年化预期收益率. (2)在几何布朗运动下St是非负的,符合有限责 任原则

28 ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ~ , ln ~ ln , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? = ? ? ?

2 2

2 2

2 2

2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? T t T t T t T t T t T t T t S S T t T t S S T t T t E S Se Var S S e e Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 举例:几何布朗运动下股票价格的概率分布 设A股票的当前价格为

50 元,预期收益率为 每年18% ,波动率为每年 20% ,假设该股票价 格遵循几何布朗运动且该股票在

6 个月内不付 红利. 请问该股票

6 个月后的价格ST的概率分布如何 ?A 股票在

6 个月后股票价格的期望值和标准 差分别是多少?

29 Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU St = 50, ? = 0.18, σ = 0.2, T ? t = 0.5 年 因此

6 个月后ST的概率分布为 即30 . ln ~ ln

0 04

50 0

18 0

5 0

2 0

5 2 ? T S ? ? ? ? + ? * * ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ln ? ~ 3.992, 0.141 T S Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 由于一个正态分布变量取值位于均值左右1.96 个标准差范围内的概率为 95% ,因此,置信度 为95% 时, 因此,

6 个月 A 股票价格落在 41.09 元到 71.41 元之间的概率为 95% .

31 . ln . . . <

<

<

<

T T S S

3 72

4 27

41 09

71 41 Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 半年后,A 股票价格的期望值为 54.71 元,标 准差为 60.46 或7.78 .

32 ( ) ( ) ( ) . . . . . . . .

0 18

0 5

2 0

18 0

5 0

04 0

5 50

54 71

2500 1

60 46 T T E S e Var S e e * * * * = = = * ? = Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 百分比收益率与对数收益率 短时间内 几何布朗运动只意味着短时间内的股票价格百 分比收益率服从正态分布,长期间内股价百分 比收益率正态分布的性质不再存在,但连续复 利收益率始终服从正态分布. = + ? ?? ?? ? t t t S t t S

33 Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 1900-2000主要国家股指实际收益率

34 Copyright ?

2019 Zheng, Zhenlong,XMU 预期收益率 ? ?为?t 时间内股票的年化百分比期望收益率,股 票的期望连续复利收益率? ?

1 2 ?2 . 根据CAPM,现实测度下的?取决于该证券的系统 性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益 偏好.由于后者涉及主观因素,因此其决定本身 就非常复杂. 幸运的是,在无套利条件下,衍生证券的定价与 标的资产的预期收益率是无关的.