PDF《平凡西罗限制模上的格林对应》

第3 9卷第8期西南大学学报(自然科学版)

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1 7年8月Vol.

39No.8JournalofS o u t h w e s tU n i v e r s i t y( N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n ) A u g .

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1 7 D O I :

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8 / j . c n k i . x d z k .

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1 平凡西罗限制模上的格林对应 ① 黄文林中国人民大学 信息学院,北京

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7 2 摘要:研究了平凡西罗限制k G 模,刻画了不可分解平凡西罗限制k G 模的格林对应,证明了,若任意x ∈ G - H ,都有 P ∩ Hx =1,特别地,若H是G 的强p 嵌入子群,那么,格林对应建立了不可分解平凡西罗限制k G 模的同构类和不可分解平凡西罗限制k H 模的同构类之间的一一对应. 关键词:平凡西罗限制模;

格林对应;

强p 嵌入子群 中图分类号:O

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6 文献标志码:A 文章编号:1

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0 6 平凡西罗限制模是一类特别的内平凡模,内平凡模是内 同态环( 自同态环)在稳定模范畴中平凡的k G 模[ 1] ,它是稳定模范畴的P i c a r d群的元素[ 2] ,是内置换模的组成部分,而内置换模还是p 可解 群和p 幂零群等某些有限群的不可约模的源;

平凡西罗限制模还是一种特 别的p置换模,而p置换模在块代数的p 置换等价和 D a d e群的结构方面都有重要应用[ 3] . 在文献[

4 ] 中, J .G r e e n首次提出了一种关于有限群G 上的不可分解模与其子群H 上的不可分解模之 间的转移定理,也就是著名的格林对应定理;

在文献[

5 ] 中,他再次提出该定理,并用于研究有限群公理化 表示中的G 函子上的转移定理. 如今,格林对应定理已经成为有限群表示论中的十分重要的研究工具,例如,文献[

6 ]研究了模覆盖和块覆盖与格林对应之间的关系. 本文研究平凡西罗限制模和它的格林对应,并刻画了平凡西罗限制k G 模的盖、顶、维数、分解结构;

证明了不可分解平凡西罗限制k G 模的格林对应恰是它的限制模的盖,以及,对于群G 的子群H 和西罗p 子群P,若任意x ∈G-H ,都有P ∩ Hx = 1,那么,不可分解平凡西罗限制k H 模的诱导模仍是 平凡西罗限制k G 模. 此时,格林对应建立了不可分解平凡西罗限制k G 模同构类和不可分解平凡西罗限制k H 模同构类 之间的一一对应. 特别地,若子群 H 在群G 中是强嵌入的,那么,格林对应也建立了不可分解平凡西罗限 制k G 模同构类和不可分解平凡西罗限制k H 模同构类之间的一一对应.

1 平凡西罗限制k G 模 本文中,我们设定, G 是一个有限群, p 是G 的阶的素数因子, k 是一个特征为p 的数域,所有的模都 是有限生成的. 关于本文的记号和术语,读者可参考文献[ 7-1

0 ] . ① 收稿日期:2

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5 基金项目:国家自然科学基金项目(

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5 7 ) . 作者简介:黄文林(

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7 7 ) ,男,湖北黄冈人,博士,主要从事有限群表示论研究. 定义1 设P 是有限群G 的西罗p 子群, M 是一个k G 模,若M限制到P 上有分解: R e s G PM = k ? S, S 是一个投射k P 模,则称 M 是一个平凡西罗限制k G 模. 注1 定义1中,由于 R e s G PE n d ( M )? E n d ( R e s G PM )?k ? E n d ( S) 而End(S) 仍是投射模,所以, R e s G PM 是内平凡k P 模,从而,平凡西罗限制k G 模M 是内平凡k G 模( 参 考文献[

1 1 ]中的引理2 .

2 ) . 注2 因为投射模的共轭模仍是投射模,所以定义1中的平凡西罗限制k G 模M 的定义不依赖于西罗 p 子群P 的选择. 注3 因为投射模都是置换模( 参见文献[