PDF《平凡西罗限制模上的格林对应》

1 0]中的推论2

7 . 2) ,所以平凡西罗限制k G 模是p 置换k G 模. 引理1 设P 是有限群G 的西罗p 子群, M 和N是平凡西罗限制k G 模, U 是一个投射k G 模, 那么

1 )对偶模 M * 是平凡西罗限制k G 模;

2 )共轭模 Mg 平凡西罗限制k G 模;

3 )M ? N 是平凡西罗限制k G 模;

4 )M ?U 是平凡西罗限制k G 模. 证1)设 R e s G PM = k ?S, S 是投射k P 模,则ResGPM * =( R e s G PM ) * = k ?S* 然而,由于k G 是自内射代数,投射模S 的对偶S* 仍是投射模( 参考文献[

6 ] 中的性质6 .

7 ) ,所以, M * 是 平凡西罗限制k G 模.

2 )同理,由参考文献[

6 ] 中的例1

0 .

1 0知, Mg ? M ,那么, R e s G PMg ?R e s G PM = k?S,共轭模 Mg 是 平凡西罗限制k G 模.

3 )又设 R e s G PN = k ?T, T 是投射k P 模,那么 R e s G P ( M ? N) =( k ?S)? ( k ?T)?k ?S ?T ?S ?T 而S ?T 是投射模,所以, M ? N 是平凡西罗限制k G 模.

4 ) R e s G P ( M ?U) =( k ?S) ? R e s G P U ?k ? ( S ? R e s G P U) ,而ResGPU是投射k P 模,所以 M ?U 是平凡西罗限制k G 模. 引理2 M 是平凡西罗限制k G 模,那么d i m( M ) =1 ( m o d |G| p ) . 证设ResGPM = k ?S, S 是投射k P 模, p 是G 的西罗p 子群,由文献[

6 ]中的习题2

1 . 2知dim( S) =1 ( m o d |P| ) 所以 d i m( M ) =d i m( R e s G PM ) =1+d i m( S) =1 ( m o d |G| p ) 性质1 每个平凡西罗限制k G 模M都可分解为一个不可分解平凡西罗限制k G 模N和一个投 射k G 模U 的直和,并且该分解在k G 模同构的意义下是唯一的. 证设N是M 的不可分解非投射直因子, p 是G 的西罗p 子群,那么,由Krull-Schmidt定理知 R e s G PN = k ? X 式中, X 是一个投射k P 模,所以, N 是一个不可分解平凡西罗限制k G 模. 另一方面,若M还有与N 一样的不可分解非投射直因子,则平凡模k 在ResGPM 的直和分解中的重数

2 西南大学学报( 自然科学版) h t t p : / / x b b j b . s w u . e d u . c n 第3 9卷是2,这与 K r u l l - S c h m i d t定理相矛盾. 我们称性质1中的不可分解平凡西罗限制k G 模N 为M 的盖. 性质2

1 )设M是不可分解平凡西罗限制k G 模,那么 M 的顶是群G 的西罗p 子群;

2 )设M是H投射平凡西罗限制k G 模, H 是G 的子群,那么 H 包含群G 的某个西罗p 子群. 证1)反证法. 若M的顶是G 的真p 子群,那么,由文献[

6 ]中的习题2

3 . 1知dim( M ) =0 ( m o dp) 这与引理2相矛盾.

2 )由性质1,设N是M 的盖,那么, N 是不可分解H 投射平凡西罗限制k G 模,由(

1 ) 知, N 的顶 是G 的西罗p 子群,这说明, H 必须包含G 的某个西罗p 子群. 由性质2得知,任何平凡西罗限制k G 模的盖的顶是G 的西罗p 子群.

2 平凡西罗限制模上的格林对应 引理3 设H是G 的子群, M 是平凡西罗限制k G 模,那么限制模 R e s G HM 是平凡西罗限制k H 模. 证设G的西罗p 子群 P 包含 H 的西罗p 子群 Q,并设 R e s G PM = k ?S, S 是投射k P 模, 那么 R e s H Q ( R e s G HM ) =R e s G QM =R e s P Q ( R e s G PM ) = k ? R e s P Q S 而ResPQS是投射k Q 模,所以, R e s G HM 是平凡西罗限制k H 模. 推论1 设H是G 的子群, M 是k G 模,若H包含群G 的西罗p 子群,那么, M 是平凡西罗限制k G 模当且仅当限制模 R e s G HM 是平凡西罗限制k H 模. 证 由引理3得知必要性成立. 下面证明充分性. 设H包含G 的西罗p 子群P,那么,若ResGHM 是 平凡西罗限制k H 模,即ResGPM =R e s H P ( R e s G HM ) 而ResHP(ResGHM ) = k ?Y 且Y 是投射k P 模,所以, M 是平凡西罗限制k G 模,充分性得证. 格林对应定理[ 9] 设P是群 G 的p 子群,H 是G的子群,并且 H ≥ NG ( P) ;