PDF《平凡西罗限制模上的格林对应》

若G 的任何两个不同的西罗p 子群的交子群都是平凡的, 我们称G 为有平凡西罗交[

1 3] . 推论2 设P 是群G 的西罗p 子群, H 是G 的子群,并且 H ≥ NG ( P) , N 是不可分解平凡西罗限 制k H 模;

若G 有平凡西罗交,那么 N 的格林对应是一个不可分解平凡西罗限制k G 模,并且,它恰是 I n d G HN 的盖. 证G有平凡西罗交,那么, H 是G 的强p 嵌入子群,由定理3得知推论2成立. 推论3 设P 是群G 的西罗p 子群, H =NG ( P) , N 是不可分解平凡西罗限制k H 模;

若P 是平凡 交的,那么 N 的格林对应是一个不可分解平凡西罗限制k G 模,并且,它恰是I n d G HN 的盖.

4 西南大学学报( 自然科学版) h t t p : / / x b b j b . s w u . e d u . c n 第3 9卷证P是平凡交的,那么, H 是G 的强p 嵌入子群,由定理3得知推论3成立. 定理4 设群G 的子群 H 和西罗p 子群P 满足G >

H ≥ NG ( P) ;

若P ∩ Hx = 1, x ∈G-H , 那么格林对应建立了不可分解平凡西罗限制k G 模同构类和不可分解平凡西罗限制k H 模同构类之间 的一一对应. 证 一方面,由定理1知,不可分解平凡西罗限制k G 模M 的格林对应f( M ) 是一个不可分解平凡西 罗限制k H 模,并且,它恰是 R e s G HM 的盖. 另一方面,由定理2知,不可分解平凡西罗限制k H 模N 的格林对应g( N) 是一个不可分解平凡西罗 限制k G 模,并且,它恰是I n d G HN 的盖. 综上,在H≥NG ( P) ,且P ∩ Hx = 1, x ∈G-H 的情形下,不可分解平凡西罗限制模在格林对应 下封闭,那么,由格林对应定理得知,格林对应建立了不可分解平凡西罗限制k G 模同构类和不可分解平 凡西罗限制k H 模同构类之间的一一对应. 定理5 设H是G 的子群, N 是平凡西罗限制k H 模;

若H是群G 的强p 嵌入子群,那么格林对 应建立了不可分解平凡西罗限制k G 模同构类和不可分解平凡西罗限制k H 模同构类之间的一一对应. 证 设强p 嵌入子群H 包含G 的西罗p 子群P. 那么,首先, H ≥ NG ( P) ;

其次,由定理1,不可 分解平凡西罗限制k G 模M的格林对应f( M )是一个不可分解平凡西罗限制k H 模,并且,它恰是 R e s G HM 的盖;

再次,由定理3,不可分解平凡西罗限制k H 模N 的格林对应g( N) 是一个不可分解平凡西 罗限制k G 模,并且,它恰是I n d G HN 的盖. 综上,结合格林对应定理得知,当H 是群G 的强p 嵌入子群时,格林对应建立了不可分解平凡西罗限 制k G 模同构类和不可分解平凡西罗限制k H 模同构类之间的一一对应. 推论4 设P是群G 的西罗p 子群,H 是G 的子群,并且 H ≥ NG ( P) ;

若G 有平凡西罗交,那 么格林对应建立了不可分解平凡西罗限制k G 模同构类和不可分解平凡西罗限制k H 模同构类之间的 一一对应. 证 由推论2和定理5的证明即可证得. 推论5 设P是群G 的西罗p 子群,H = NG ( P) , N 是不可分解平凡西罗限制k H 模;

若P是平凡交的,那么格林对应建立了不可分解平凡西罗限制k G 模同构类和不可分解平凡西罗限制k H 模 同构类之间的一一对应. 证 由推论3和定理5的证明即可证得. 参考文献: [

1 ] C A R L S ONJF, THE V E NA ZJ . T h eC l a s s i f i c a t i o no fE n d o - T r i v i a lM o d u l e s[ J ] . I n v e n tM a t h,

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8 (

2 ) :

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1 1. [

2 ] C A R L S ONJF, R OUQU I E RR. S e l f - E q u i v a l e n c e so fS t a b l eM o d u l eC a t e g o r i e s[ J ] . M a t hZ,

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