PDF《第33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答 》

2 2

0 1

2 , 1,2, ,

1 2 ( ) , 0,1,2, ,

2 k k x y L n R R k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 亮环 暗环 ? ?式中亮环条件对应于第 k 级亮纹上的点 ( , , ) x y z 的x-、 y -坐标满足的方程. 更具体地,不妨假设

1 2 R R ? ,根据?式中的亮环条件,可得第 k 级亮纹的方程为

2 2

2 2 1, 1,2 k k x y k A B ? ? ? ? ? 它们是椭圆亮环纹,其半长轴与半短轴分别为

1 0

1 ( ) / , 1,2,

2 k A k R n k ? ? ? ? ? ,

2 0

1 ( ) / , 1,2,

2 k B k R n k ? ? ? ? ? ? 评分参考:①②式各

1 分, ③式2分, ④⑤式各

1 分, ⑥式2分, ⑦式1分, ⑧式2分, ⑨⑩?? 式各

1 分,?式2分,?式1分,?式(亮环条件正确)2 分.

二、 (20 分)某秋天清晨,气温为 4.0 C ? ,一加水员到 实验园区给一内径为 2.00 m 、 高为 2.00 m 的圆柱形不 锈钢蒸馏水罐加水.罐体导热良好.罐外有一内径为 4.00 cm 的透明圆柱形观察柱,底部与罐相连(连接 处很短) ,顶部与大气相通,如图所示.加完水后, 加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜(不溶于水, 与罐壁无摩擦) ,并密闭了罐顶的加水口.此时加水 员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00 m . (1)从清晨到中午,气温缓慢升至 24.0 C ? ,问此时 观察柱内水位为多少?假设中间无人用水,水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略. (2) 从密闭水罐后至中午, 罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少?求这个过程中罐内空 气的热容量. 4? ? 已知罐外气压始终为标准大气压501.01

10 Pa p ? ? , 水在4.0 C ? 时的密度为3301.00

10 kg m ? ? ? ? ? ,水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为

4 1 3.03

10 K ? ? ? ? ? ,重力加速度 大小为

2 9.80m s g ? ? ? ,绝对零度为 273.15 C ? ? . 参考解答: (1)清晨加完水封闭后,罐内空气的状态方程为

0 0

0 p V nRT ? ① 式中 n 为罐内空气的摩尔数,

0 p 、

3 0 π m V ? 和0277.15K T ? 分别是此时罐内空气的压强、体积和 温度. 至中午时, 由于气温升高, 罐内空气压强增大, 设此时罐内空气的压强、 体积和温度分别为

1 p 、

1 V 和1T,相应的状态方程为

1 1

1 pV nRT ? ② 式中

1 297.15K T ? .空气和水的体积都发生变化,使得观察柱中水位发生变化,此时观察柱内水 位和罐内水位之差为,

1 0

1 0

1 0

1 2

0 1

2 2 ( )( + ) V V V V T T S S l h S S S ? ? ? ? ? ? ? ? ③ 式中右端第三项是由原罐内和观察柱内水的膨胀引起的贡献,

0 1.00 m l ? 为早上加水后观测柱内 水面的高度,

2 1 π m S ? 、

4 2

2 4π

10 m S ? ? ? 分别为罐、观察柱的横截面积.由力平衡条件有

1 0

1 1 p p g h ? ? ? ? ④ 式中

0 1

1 0

1 ( ) T T ? ? ? ? ? ? ⑤ 是水在温度为

1 T 时的密度.联立①②③④⑤式得关于 h ? 的一元二次方程为

2 1

1 0

1 1

0 0

0 0

0 T gS h p S gV h p V T ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑥ 式中

1 2

1 2 S S S S S ? ? ? ,

1 0

1 ( ) T T ? ? ? ? ? ⑦ 解方程⑥得210110011010001()()4()0.812m

2 T p S gV p S gV gS p V T h gS ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑧ 另一解不合题意,舍去.由③⑤⑦⑧式和题给数据得 5? ?

3 1

0 1

0 1

0 ( ) 0.0180m V V S h T T S l ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由上式和题给数据得,中午观察柱内水位为

1 0

1 0

1 + 1.82m V V l h l S ? ? ? ? ? ⑨ (2)先求罐内空气从清晨至中午对外所做的功. (解法一)早上罐内空气压强