PDF《请义宏》

曹庆宏讲义草稿请勿传播第9章一维量子系统 最好的理解薛定谔方程的方法就是求解不同的势函数的薛定谔方程,在这一章我 们研究一维量子系统,首先我们先定性地了解一下薛定谔方程和具体波函数的特征.

从数学上讲,定态薛定谔方程对任意的 E 值都是有解的,但并非所得到的解都满足 物理上的要求.根据具体的物理条件,波函数几率诠释要求波函数满足束缚态边界条 件,周期性边界条件,或散射态边界条件.只有某些 E 值所对应的解才是物理上可以 接受的. 9XR 束缚态与散射态 考虑如图(9XR)左图所示的一般性的一维势场.当Vmin <

E <

V1 时,体系处于 束缚态,即量子没有能量克服束缚势能运到到无穷远处.特例是库仑势场 Vmin → ?∞ 和简谐振子势场 V1 → ∞;

当V1 <

E <

V2 时,体系处于散射态,粒子可以出现在 ?∞ 处,但无法到达 +∞ 处,体系无简并;

当E>

V2 时,体系也是处于散射态,但粒子 可以出现在 ±∞ 出,体系存在 k 重简并.如果对于某能级 E,有m个线性无关的本 征函数,那么我们就称这个能级是简并的,且简并度为 m. 束缚态(E <

V0)的能谱是离散的,这些离散能级是在一定的边界条件下求解薛 定谔方程的必然结果.定态薛定谔方程改写为 dψ(x) dx2 = 2m ? h2 [V (x) ? E]ψ(x), U9XRXRV 等式左边的波函数的二阶导数表示波函数斜率的变化程度――曲率.所以波函数的曲 率正比于 [V (x) ? E]ψ(x).我们可以先探讨一下波函数的定性行为. xc1 xc2 ψ(x) x E xc1 xc2 V (x) x + ? + Vmin V1 V2 图9XR, 束缚态能量和波函数边界条件 曹庆宏讲义草稿请勿传播?kfdk? 第9章一维量子系统 ? E >

V (x) 时,ψ(x) >

0 时波函数的曲率是负的,波函数曲线会向负值偏转;

ψ(x) <

0 时波函数曲率是正的,波函数曲线会向正值偏转.在这两种情况下,波 函数始终都是向 x@坐标轴偏转,这直接导致 E >

V (x) 时波函数 ψ(x) 呈现一种 振荡状态.这和正弦曲线一致,ψ′′(x) ? ?ψ(x). ? E <

V (x) 时,ψ′′ ? ψ(x),这将导致曲率始终使的曲线远离 x@坐标轴.这就意味 着,ψ(x) 随x增大会变为无穷大.所以只有特定的初始条件才可以得到正确的 波函数斜率从而令在 x → ∞ 时ψ(x) → 0. 如图(9XR)左图所示,当Vmin <

E <

V1 时,在拐点 xc1 和xc2 之间,量子的能量大于 势能,所以此时波函数呈现振荡行为.在经典禁区 x >

xc2 或x xc2 区域内实线和虚线所示.但波函 数在不穷远出为零的边界条件排除了虚线波函数.在x=xc2 处,波函数连续而且波 函数导数连续.但我们仅有一个能量是自由参数,所以必须精细调解能量值才能够波 函数在 xc2 处的边界条件.这就意味着:对于给定势场中量子束缚态,只有特定离散 的能量值才可以同时满足定态薛定谔方程和波函数的边界条件,即一维束缚态的能级 是离散的. 此外,波函数的形状依赖于 ψ′′ 的数值大小和符号,如图形(9Xk)所示, ? |ψ′′| 表征处于束缚态的量子的德布罗意波长大小 ? |ψ′′| 大,表示 紧凑 的波函数;

? |ψ′′| 小,表示 松散 的波函数 ? ψ′′ 的正负号代表波函数的曲率方向: ? ψ′′ >

0 表示凹形,即波函数开孔向上(图中曲线 R 和k) ? ψ′′ <

0 表示凸形,即波函数开口向下(图中曲线 j) 图中波函数 ψ1 代表粒子的德布罗意波长较短,其动量和动能较大,这是激发态的特 征.基态波函数具有最长的德布罗意波长,具有最小的曲率和最松散的波函数,且波 函数在无穷远处趋于零.基态波函数除无穷远处外没有节点.第一激发态具有略高的 能量,所以波函数有一个节点.

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2 + + ? x ψ(x) 图9Xk, 波函数曲率和波函数形状 曹庆宏讲义草稿请勿传播9Xk 一维定态的一般性质 ?jfdk? 当分立能级按大小顺序排列,一般而言,第n+1条能级的波函数在其取值范 围内有 n 个节点(即有 n 的x值使 ψ(xn) = 0) ,不包括边界点和无穷远. h?2Q`2K 9XR 分立能级振荡定理 ? 9Xk 一维定态的一般性质 详细讨论请参见曾谨言老师的教材.我们这里注重讨论以下几点. RV 在V(x) 取值有限区域,ψ 和ψ′ 均为连续函数,并取有限值;

当V(x) → ∞ 处,ψ(x) → 0- ψ′ 有可能不连续. ―― `M;

2` 定理 设V(x0) 处有阶跃行为,在x0 附近对定态薛定谔方程进行积分 x0+? x0?? ψ′′ dx = 2m ? h2 x0+? x0?? [V (x) ? E]dx. U9XkXRV 当V(x0) 变化有限时,? →

0 时,上式右方积分为零,所有 ψ′ (x0 + ?) = ψ′ (x0 ? ?). U9XkXkV 当x→x0,V (x) → ±∞ 时公式(9XkXR)右方积分可能不趋于零,故ψ′ (x0 + ?) ψ′ (x0 ? ?). U9XkXjV 但如果 ψ′(x0 + ?) 和ψ′(x0 ? ?) 在x0 附近取值有限,则ψ(x0 + ?) ? ψ(x0 ? ?) x0+? x0?? ψ′ (x)dx = 0. U9XkX9V kV 设ψ为方程的对应于能量 E 的本征函数,因为定态薛定谔方程是实数方程, 所以 ?(ψ) 和?(ψ) 都是方程对应于同一本征值得解. 显而易见 jV 设一维运动中两个线性独立的波函数(ψ1 和ψ2)都对应于同一能量 E 值,则ψ1ψ′

2 ? ψ2ψ′

1 = 常数 U9XkX8V 证明:因为 psi1 和ψ2 满足如下的定态薛定谔方程 2ψ1(x) x2 = 2m ? h2 (V (x) ? E)ψ1(x) 2ψ2(x) x2 = 2m ? h2 (V (x) ? E)ψ2(x), U9XkXeV 曹庆宏讲义草稿请勿传播?9fdk? 第9章一维量子系统 所以有 ψ′′

1 ψ1 = ψ′′

2 ψ2 , U9XkXdV 即ψ2ψ′′

1 ? ψ1ψ′′

2 =

0 =? (ψ2ψ′

1 ? ψ1ψ′ 2)′ = 0, U9XkX3V 所以可得 ψ1ψ′

2 ? ψ2ψ′

1 = 常数. U9XkXNV 9V 一维规则势场中(V (x) 无奇点)束缚定态是不简并的. 证明(反证法) :设ψ1 和ψ2 是对应于能量 E 的两个线性无关的束缚态波函数,因为 ψ1ψ′

2 ? ψ2ψ′

1 = C, U9XkXRyV 利用在无穷远处波函数为零的自然边界条件可得 C = (ψ1ψ′

2 ? ψ2ψ′ 1) x→∞ =

0 U9XkXRRV 和ψ′

1 ψ1 = ψ′

2 ψ2 =? ln ψ1 ψ2 ′ =

0 =? ln ψ1 ψ2 = 常数. U9XkXRkV 这意味着 ψ1 = 常数 * ψ2(即ψ1 和ψ2 等价) ,所以不存在简并. 9Xj 一维常数阶跃势场 我们已经计算过最简单的一维体系――自由运动粒子,现在我们考虑稍稍复杂一 点的例子――如图(9Xj)所示的一维常数阶跃势场, V (x) = ? ? ? ? ? ? ? ? ? V0 x ≥ 0,

0 x <

0. U9XjXRV 我们考虑 E V (x), 所以波函数呈现振荡形式,而在 x >

0 区域 E <

V0,所以波函数取指数形式.具体写 出两区域的波函数 u(x) = ? ? ? ? ? ? ? ? ? u1(x) = Asin(k + δ) x <

0, u2(x) = Be?Kx + Ce+Kx x >

0, U9XjXkV 其中 k = 2mE ? h2 , K = 2m(V0 ? E) ? h2 . U9XjXjV 曹庆宏讲义草稿请勿传播9X9 一维无限深势阱 ?8fdk? V (x) E x V0 u1(x) u2(x)

0 图9Xj, 一维阶跃常数势垒 无穷远处波函数边界条件要求 C = 0.在x=0处波函数连续和波函数导数连续 要求 u1(0) = u2(0) : Asinδ = B, u′ 1(0) = u′ 2(0) : kAcosδ = ?BK, U9XjX9V 这两个条件给出

1 k tanδ =

1 K . U9XjX8V 这样波函数的边界条件决定了 A/B 的比值,但任然无法确定 A 和B的各自数值.当V0 → ∞ 时,K → ∞, tanδ =

0 =? sinδ =

0 =? B = Asinδ = 0, U9XjXeV 所以在无穷深影壁处波函数为零.这也是波函数二阶导数无穷大的必然结果. 9X9 一维无限深势阱 最简答的一维束缚态的粒子就是 盒子中电子 问题,电子被束缚在空间 x =

0 和x=L之间,其势函数为 V (x) = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∞ x <

0,

0 0 <

x <

a, ∞ x >

0. U9X9XRV 这个简单模型可以非常好地描述大分子中的电子,或者近似描述金属中电子.无穷深 势阱模型是一种理想化近似,实际物理情况只要满足如下两个条件就可以用无穷深势 阱描述: (R)势垒高度远远大于体系特征能量,U(x) ≥ E;

(k)在势场边界处的势函 数变化远小于粒子的特征德布罗意波长,?x ? λ = 2a/n. 曹庆宏讲义草稿请勿传播?efdk? 第9章一维量子系统 9X9XR 经典弹性振荡小球 无穷深势阱的经典对应是在两个刚壁之间做匀速运动的弹性小球.在求解量子系 统之前,我们先讨论一下经典物理图像的统计结果,之后我们会验证量子系统在大量 子数情况下趋近经典图像. 设弹性小球的速度和运动周期分别为 v0 = 2E m , τ = 2a v0 = 2a m 2E . U9X9XkV 在经典物理中我们可以跟踪小球在每个时刻的运动状态,但我们不妨试一下利用统计 方法来描述小球状态.设想小球运动速度非常快,超过我们探测仪器的精度.我们只 能使用照相机随机大量地拍摄小球的位置.我们希望通过统计方法回答下面几个问 题: RX 我们看到小球出现在特定位置(例如 x = 0.666 处)的几率是多少? 因为小球做匀速运动,所以小球在两影壁之间任意位置出现的几率均等, PCL(x)dx = Probablity[x,x + dx] = Cdx. U9X9XjV 因为任意时刻我们总可以在 x =

0 和x=a之间的某个位置上发现粒子,所以 积分后总概率为 R,

1 = a

0 PCL(x)dx = aC =? PCL(x) = C =

1 a . U9X9X9V kX 在多个照片上小球的平均位置是多少?统计涨落是多少? 位置平均值和位置平方平均值为 ?x?CL = a

0 xPCL(x)dx = a

2 , x2 = a

0 x2 PCL(x)dx = a2

3 , U9X9X8V 故而位置平均值测量的统计涨落为 ?xCL = x2 CL ? ?x?2 CL = a √

12 . U9X9XeV jX 动量的概率分布如何? 因为弹性小球在两影壁之间做向左和向右的往返匀速运动,所以小球具有两种 动量状态 p = +p0 和p=?p0,而且小球处于这两个动量的概率各为一半, PCL(p) =

1 2 [δ(p ? p0) + δ(p + p0)], p0 = mv0. U9X9XdV 动量平均值和动量平方平均值为 p CL =

1 2 p0 +

1 2 (?p0) =

0 曹庆宏讲义草稿请勿传播9X9 一维无限深势阱 ?dfdk? p2 CL =

1 2 p2

0 +

1 2 (?p0)2 = p2 0, U9X9X3V 动量平均值测量的统计涨落为 ?pCL = p0. U9X9XNV 9X9Xk 量子版本的弹性小球 现在我们讨论弹性小球的量子版本.为了使量子效应显著,势阱的宽度必须可以 和量子的德布罗意波长相若.定态薛定谔方程为 d2ψ(x) dx2 + k2 ψ(x) = 0, k2 = 2mE ? h2 , U9X9XRyV 因为 E >

0,所以势阱内部波函数呈现振荡行为,其通解为 ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx). U9X9XRRV 我们从上一节的半壁无穷高势垒的例子已经知道:在两个硬壁处波函数为零,则有 ψ(x = 0) =

0 =? B = 0, ψ(x = L) =

0 =? k = nπ a (n = 1,2,3,・・・). U9X9XRkV 故而第 n 个束缚态的能量为 En = ? h2 k2 2m = n2π2? h2 2ma2 = n2 E1, (n = 1,2,3,・・・) U9X9XRjV 相应的第 n 能级的波函数为 ψn(x) = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 a sin nπx a ,

0 ≤ x ≤ a

0 , others, U9X9XR9V 其中 √ 2/a 为归一化常数.无穷深势阱的本征函数形成一个正交归一的完备集,势阱 内量子的任意波哈数都已写作 ψn(x) 的线性组合, ψ(x,t) = +∞ n=1 ψn(x)e ?i Ent ? h =

2 a +∞ n=1 sin nπx a e ?i Ent ? h . U9X9XR8V 下面我们检验一下无穷深势阱的本征函数和本征能量的性质,并着重讨论经典极 限下波函数以及各物理量测量值的行为,并将之和经典弹性小球对比: URV 基态 顾名思义,基态是最低能量态,即n=1.它不为零,这是不确定关系的必然 要求,即量子世界中没有静止的物体.通常人们将不为零的最低能量称作为 零点 曹庆宏讲义草稿请勿传播?3fdk? 第9章一维量子系统 能 .零点能反映了微观粒子局域化带来的最小运动行为,它存在于所有量子束缚体 系中.因为量子被束缚在

0 a 区间,坐标的不确定度为 ?x ? a.不确定关系告诉我 们,?p ? ? h/a,这样可以得到最小的能量 Emin ? ? h2 /(2ma2).在束缚态中,最小能量 值要比势能最小值大,这是和经典物理截然不同的.在经典物理中,物体可以处于静 止,从而最小能量等于势能.我们可以利用无穷深势阱零点能公式估算如下对象的零 点能: ? Ryy;

的球束缚在

8 米空间内: E = ? h2 π2 2ma2 =

10 * 10?68J 2.1 * 0.1 *

25 = 1.25 * 10?49 eV;

U9X9XReV ? 氧原子束缚在

2 * 10?10 米的晶格上(氧原子具有 Re 个核子,质量为 m =

16 * 1.6 * 10?27F;

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