PDF《σ （ p ） ∼ （ p − pc ）》

第一章 Monte Carlo 方法基础 §1.

6 逾渗问题 1-78 表1.6.2.5-1 逾渗相变与磁相变的临界指数值,整数比是严格准确的值 模型 物理量 函数 临界指数

2 d =

3 d =

6 d ≥ 逾渗概率 ( ) ( ) c P p p p β ∞ ? ? β

5 36 0.4

1 集团平均大小 ( ) c S p p p γ ? ? ? γ

43 18 1.8

1 平均跨越长度 ( ) c p p p υ ξ ? ? ? υ

4 3 0.9

1 2 逾渗模型 电导率 ( ) ( ) t c p p p σ ? ? t 1.1 1.65

3 4 d ≥ 磁化强度 ( ) ( ) c M T T T β ? ? β

1 8 0.32

1 2 磁化率 ( ) c T T T γ χ ? ? ? γ

7 4 1.24

1 Ising模型 相关长度 ( ) c T T T υ ξ ? ? ? υ

1 0.63

1 2 1.6.2.6 标度律 相变理论中把临界指数联系起来的关系称为标度律(scaling law) ,当奇异性 用幂次表示时,就已经说明它的变化是有标度性的.这里,我们只限于说明标度 的概念,而标度律的推导是统计力学中的内容. 我们说,当一个函数 ( ) F x λ 对所有的λ 满足以下条件时 F x g F x λ λ = (1.6.2.6-1) 时它是齐次的. ( ) g λ 具有的形式可以立即找到,因为 F x g F x g g F x g F x λμ λ μ λ μ λμ 1.6.2.6-2) 所以有 g g g λμ λ μ = . (1.6.2.6-3) 上式中两边对 μ 微分,得 '

'

g g g g λμ λ λμ λ μ μ ? = = ? . (1.6.2.6-4) 令1μ=,()'

1ga=,则 ( ) ( ) '

g ag λ λ λ = .然后从1到λ 积分,根据 ( )

1 1 g = ,得: ( ) a g λ λ = .故有 ( ) ( ) a F x F x λ λ = . (1.6.2.6-5) 故对齐次函数,自变量的尺度变化λ 倍时,函数本身形式不变,仅大小变化 λ 的幂指数倍, 这就是标度性的概念.显然,幂指数函数满足这个关系.实际上, 在式(1.6.2.6-5)中令

1 x λ ? = ,得()()1aFxFx=,即齐次函数就是幂指数函数. 将(1.6.2.6-5)式所描述的标度概念应用到相变理论中,可以得到各个临界 指数间满足的标度律关系,各种推导中以 Kadanoff 从Ising 模型出发所作的推导 最好.最为重要的标度律是 Josephson 标度律:

第一章 Monte Carlo 方法基础 §1.6 逾渗问题 1-79

2 d β γ υ + = . (1.6.2.6-6) 它将几个关键性的指数联系起来,并且包含了空间维数.可以验证,表1.6.2.5-1 中的指数均满足这个关系.实际上,描述临界现象的指数还有许多.但标度律给 出的结论是,众多指数中只有两个是独立的,其它指数都可以由此推出. 1.6.2.7 边缘维数 我们现在来讨论表1.6.2.5-1中的最后一列,其中所列出的指数是逾渗平均场 理论的临界指数,这个相应于在Bethe点阵上级联过程的逾渗平均场理论与聚合 物的Flory-Fisher平均场理论或铁磁性的Weiss分子场理论相类似,这里不予详细 讨论. 就相变而言,已经知道存在一个边缘维数 * d .对于 * d d ≥ ,临界指数取经典 (即平均场)值.我们可以粗略地论证一下它的合理性:维数越高,每一点阵格 点相邻的格点数也越多,因而它的环境也就越接近平均环境(即平均场) .或者 说,若d足够大,则认为每一位置就是平均位置也并无本质性错误.对d维密堆 积点阵,从1d=直到

8 d = 的配位数(最近邻格点数)均已知,分别为:2,6, 12,24,40,72,126,240.显然,配位数的增加比 d 的增加要快得多.对铁磁 相变, *

4 d = ,即在4维或更高的维数下,临界指数取表中下右方所给出的平均 场值.我们的问题是:逾渗的边缘维数是多少? Toulouse于1974年给出了这个问题的解答.首先,他论证了Bethe点阵上逾渗 过程的临界指数实际上就是平均场值.这里我们不加证明地指出,Bethe点阵上 的临界指数是可以严格求解的, , , β γ υ 取值分别为(1,l,1

2 ) ;

然后,当取 此平均场值时,Josephson标度律应满足, 该标度律只有在 * d d ≤ 时成立,而平均场 值对应的维数是 * d d ≥ ,因此,代入平均 场值后即得逾渗的边缘维数为 *

6 d = .因 此他认为,6作为逾渗的边缘维数是一个 并非不合理的猜想 .而这一美妙猜想 以后被Monte Carlo计算机模拟研究加以 证实,这个工作是1976年由Kirkpatrick在IBM完成的,他分析了从2维到6维简立方 点阵上座逾渗过程, 证明了临界指数确实 在*6d=时达到平均场值,这一点进一步 加强了逾渗与二级相变理论的相似性. 尽 管逾渗与磁性相变属于不同的普适类, 各 自有着不同的临界指数, 但它们仍有相同 的标度律! 图1.6.2.7-1中显示了各种逾渗临界指 数值随维数的变化, 整数维数下的取值来 图1.6.2.7-1 逾渗的临界指数与维数的关系.

第一章 Monte Carlo 方法基础 §1.6 逾渗问题 1-80 源于理论和计算机模拟, 而平滑曲线是把维数当作连续变量的概念而连成的.在 相变理论中, 连续维数的重要应用是作为微扰论中的展开变量, 即认为 * d d ε = ? 是一小量,该方法称为ε 展开.对于逾渗过程,物理上的实际维数是2和3,与平 均场的边缘维数相差很大,因此,对应的临界指数值之间的差别也大,而这个差 别随着维数的增加是单调减的.对于磁性相变,边缘维数是4,于是临界指数与 平均场值的偏离要小得多. 1.6.2.8 逾渗模型的应用 无序系统中由某种占据数(或浓度、密度)变化时引起的逾渗相变过程可以 作为描述许多自然现象的模型. 即使在每种现象之间,体系的基本元素和相互作 用是不同的,但体系之间有着相通的共性,临界点附近的行为就是如此.表1.6.2.8-1中列举了已经应用逾渗模型研究过的体系和现象, 其中大部分是物理的, 也有化学的和生物方面的应用.一些是宏观现象,其余则属微观过程,宏观和微 观的分界线很容易看出. 对天体物理学的应用关心的是由超新星爆炸形成恒星的 传播过程, 这里逾渗转变的发生由星际气体密度的函数来表达,粒子物理的应用 涉及的是核子中夸克的禁闭,这两个例子的物理尺度相差达

35 10 倍:银河系的尺 度量级为

22 10 cm,而核子的尺度量级为

13 10? cm. 现在考虑一种传染性疾病 (percolities- 愚肾 ) 在易感染的群体中的传播 (亦 可指谣言或某种观念的传播) :想像一个果园,均匀栽值着一种果树,遭受着传 染病的威胁. 设病株传染给相距为 r 处的另一健康的树的概率 ( ) p r 已知, 果农想 得到最大产量,自然希望栽种 最大可能数目的果树.现在要 问:在能够避免传染病引起果 园毁灭危险的前提下,可以允 许的最大栽植密度是多少?假 定彼此分隔一定距离的几个单 株将被传染,使单棵病树引起 遍及整个果园的传染.当果园 表1.6.2.8-1 逾渗理论的应用 现象和体系 相变 多孔介质中流体的流动 局部/扩展的变湿 群体中疾病的传播 抑制/流行 通讯或电阻网络 不连接/连接 导体和绝缘体的复合材料 绝缘体/金属 超导体和金属复合材料 正常的/超导的 不连续的金属膜 绝缘体/金属 螺旋状星系中恒星的随机形成 非传播/传播 核物质中的夸克 禁闭/非禁闭 表面上的液 He 薄膜 正常/超流 弥散在绝缘体中的金属原子 绝缘体/金属 稀磁体 顺磁性/铁磁性 聚合物凝胶化,流化 液体/凝胶 玻璃化转变 液体/玻璃 非晶态半导体的迁移率边 局域态/扩展态 非晶态半导体中的变程跳跃 类似于电阻网络 图1.6.2.8-1 采用逾渗模型所模拟 出的星系构造.

第一章 Monte Carlo 方法基础 §1.6 逾渗问题 1-81 中有限百分比的果树被传染后认为果园被毁灭. 逾渗模型对该问题的答案是:果树之间的间距 a 必须足够大,以保证 ( ) c p r p <

,即间距 a 必须超过临界距离 c r ,这时,损失局限于最初感染的病株周 围的有限集团. [作业]:模拟有限2维正方格子 N L L = * 座逾渗:

1、首先编程实现 Honshen &

Kopelman 的集团标识算法.将你用算法标 识的结果与直接绘图的结果对照,看是否正确?

2、对于不同的几率 p(0.3 0.8 p <

<

)和不同的网格尺寸( L = 8, 16, 32) 计算 ( ) P p ∞ . 1.6.3 数值重整化 1.6.3.1 重整化群概念 重整化群理论对上述的标度律和普适性概念奠定了坚实的基础. 1970年以前 对临界指数的所有计算或者是严格求解热力学模型(如一维和二维 Ising 模型) 、 或者是数值求解法(如三维 Ising 模型) 、或者将近似解进行推广(如高温展开) 等. Kadanoff 在1966年........