PDF《2018 年北京市朝阳区高三二模数学（理）考试逐题解析》

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1 2018 年北京市朝阳区高三二模数学(理)考试逐题解析 第I卷(选择题爱共

40 分)

一、选择题:本大题共

8 小题,每小题

5 分,共40 分.

在每小题列出的 四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合 ,则(A) (B) (C) (D) 【答案】D 【考点】本题考查对数不等式与集合运算. 【解析】由 ,得 . 所以 故选 D 2. 在中, ,则(A) (B) 或(C) (D) 或 【答案】D 【考点】本题考查正弦定理的应用. 【解析】由正弦定理 即 北京新东方优能中学&

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2 得,或.故选 D 3. 执行如图所示的程序框图,则输出的 值为 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【考点】本题考查程序框图 【解析】 否 输出 故选 C ? 北京新东方优能中学&

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3 4. 在极坐标系中,直线 与圆 的位置 关系为 (A)相交且过圆心 (B)相交但不过圆心 (C)相切 (D)相离 【答案】B 【考点】本题考查极坐标方程、直线与圆的位置关系 【解析】直线 与圆 化为直角坐标方程分别为: , 圆 的圆心 ,半径为 . 圆心到直线的距离 . 所以直线与圆相交但不过圆心. 故选 B 5. 如图,角 均以 为始边,终边与单位圆 分别交于点 ,则(A) (B) (C) (D) 北京新东方优能中学&

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4 【答案】C 【考点】本题考查平面向量的数量积 【解析】 故选 C. 6. 已知函数 则 是 函数 在 上单 调递增 的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【考点】本题考查逻辑用语和函数单调性 【解析】证明充分性: 当时,当时, , 由指数函数的性质可知, 在 上单调递增. 即充分性成立 北京新东方优能中学&

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5 证明必要性: 令 ,解得 因为函数 在 上单调递增, 解得 或,所以当 的值不一定小于等于 故必要性不成立. 故选 A 7. 某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛 选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得 分,负者得 分,平 局两人各得 分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其 他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【考点】本题考查逻辑推理 【解析】由题意得,冠军得分比其他参赛人员高,且获胜的场次比别人 少,所以冠军与别人匹配场次中,平局至少为 场. A 选项:若最少 个人,当冠军 次平局时,得分,其他人至少 胜 平局, 最低得 分,A 项不成立. B 选项:若最少 个人,当冠军

1 负 平局时,得分,其他人至少 胜平局,最低得 分,不成立;

当冠军 胜 平局时,得分,其他人至少 胜 平局, 北京新东方优能中学&

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6 最低得 分,不成立.综上,B 项不成立. C 选项:若最少 个人,当冠军

2 负 平局时,得分,其他人至少 胜平局,最低得 分,不成立;

当冠军 胜 平局时,得分,其他人至少 胜 平局, 最低得 分,成立.综上,C 项可成立. D 选项: ,故不为最少人数,不成立 故选 C 8. 若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足,则称成一个 等差数列.已知集合,则由 中的三个元素组成的所有数列 中, 等差数列 的个数为 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【考点】本题考查等差数列的综合运用. 【解析】设等差数列 的公差为 , 由得,整理得 , , , ,这三个数为 , , ,有50 个(除去 ) 北京新东方优能中学&

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7 故选 B 第Ⅱ卷 (非选择题爱共

110 分)

二、填空题:本大题共

6 小题,每小题

5 分,共30 分. 9. 计算 【答案】 【考点】本题考查复数的运算. 【解析】 10. 双曲线 的离心率是 该双曲线的两条渐近 线的夹角是 . 【答案】 【考点】本题考查双曲线的离心率和渐近线. 【解析】依题意有 所以 所以 , 所以 渐近线方程 北京新东方优能中学&

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8 所以夹角为 11. 若 展开式的二项式系数之和为 ,则 其展开式 中含 项的系数为 .(用数字作答) 【答案】 【考点】本题考查二项式定理. 【解析】由二项式系数和公式可得, ,所以 , 所以 的第 项为 当 ,即 时, 所以系数为 . 12. 已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的底面和三个侧面 中,直角三角形的个数是 . 北京新东方优能中学&

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9 【答案】 【考点】本题考查三视图. 【解析】 由图可知,三棱锥 的底面和三个 侧面中直角三角形有 ,所 以有三个直角三角形. 13. 已知不等式组 在平面直角坐标系 中所表示的 平面区域为 , 的面积为 ,则下面结论: ①当时, 为三角形 ②当时, 为四边形 ③当时, ④当时, 为定值. 其中正确的序号是 . 北京新东方优能中学&

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10 【答案】③④ 【考点】本题考查线性规划. 【解析】由函数图象可知, 设直线 的方程为 ,即.当时, ,即 ,此时 为一个四边形,即①不成立 当时, ,即 ,此时 为一个三角形,即② 不成立 当时, ,即 ,此时可行域 为,所以 ,?成立 当时,可行域 为 ,所以面积为定值,即,?成立. 北京新东方优能中学&

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11 14. 如图,已知四面体.的棱 平面 ,且 ,其余的棱 长均为 .四面体 以 所在的直线为轴旋转 弧度, 且始终在水平放置的平面 上方.如果将四面体 在 平面 内正投影面积看成关于 的函数,记为 ,则函数 的 最小值为 的最小正周期为 . 【答案】 【考点】本题考查立体几何的综合应用. 【解析】从侧面看,如图 只需考虑 绕着 点旋转时, 两点 在直线 上的投影. ① 当旋转 时,投影最短为 , ② 随着旋转, 北京新东方优能中学&

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12 当 第一次旋转到图 位置时, 两点在直线 的投影又回到 了图 , 最小正周期为 .

三、解答题(共6小题,共80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证 明过程) 15.(本小题满分

13 分) 已知函数 的图象经过点 . (Ⅰ)求 的值,并求函数 的单调递增区间 (Ⅱ)若当 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 【解析】 (Ⅰ) 经过点 , 北京新东方优能中学&

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13 因为 的单调递增区间为 所以 所以 的单调递增区间为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,因为 所以 当 ,即 时, 因为 恒成立即 所以 16.(本小题满分

13 分) 某市旅游管理部门为提升该市

26 个旅游景点的服务质量,对该 市26 个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评 分.每项评分最低分

0 分,最高分

100 分.每个景点总分为这五项得分 北京新东方优能中学&

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14 之和,根据考核评分结果,绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分 与景点总分散点图如下: 请根据图中所提供的信息,完成下列问题: (Ⅰ)若从交通得分排名前

5 名的景点中任取

1 个,求其安全得分大 于90 分的概率 (Ⅱ)若从景点总分排名前

6 名的景点中任取

3 个,记安全得分不大 于90 分的景点个数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望 (Ⅲ)记该市

26 个景点的交通平均得分为 ,安全平均得分为 ,写出与的大小关系.(只写出结果) 【解析】 (Ⅰ)由图可知,交通得分前

5 名的景点中安全得分大于

90 分的景 点有

3 个.故从交通得分前

5 名的景点中任取

1 个,其安全得分大于

90 分的概率为 北京新东方优能中学&

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15 (Ⅱ)由图可知,景点总分前

6 名的安全得分不大于

90 分的景点有

2 个.设从景点总分前

6 名的景点中任取

3 个,安全得分不大于

90 分的 个数为 ,则 的取值为 0,1,2 所以 故 的分布列为

0 1

2 所以 (Ⅲ) 北京新东方优能中学&

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16 17.(本小题满分

14 分) 如图,在四棱锥 中,平面 平面 . 是 等腰三角形,且 .在梯形 中, , , , , . (Ⅰ)求证: 平面 (Ⅱ)求二面角 的余弦值 (Ⅲ)在线段 上是否存在点 ,使得 平面 ?请说明理 由. 证明: (Ⅰ)因为 又因为 平面 , 平面 所以 平面 (Ⅱ) 取 中点 , 在中,因为 ,所以 又易知 ,所以 又因为平面 平面 ,且平面 平面 , 所以 平面 ,所以 . 以 为原点, 建立如图所示的空间直角 坐标系 在梯形 中,因为 所以 北京新东方优能中学&

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17 又因为 ,所以 于是有 所以 因为 平面 ,所以 是平面 的一个法向量 设平面 的一个法向量 所以 令 ,则 所以 由图可知,二面角 为锐角 所以二面角 的余弦值为 (Ⅲ)因为 ,且 ,所以 所以 设平面 的一个法向量为 ,则令,则 假设线段上存在点,使得平面,且设北京新东方优能中学&

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18 所以 所以 因为 平面 ,所以 所以 ,显然 不存在 所以假设不成立,故线段 上不存在点 使得 平面 18.(本小题满分

13 分) 已知函数 . (Ⅰ)若曲线 在点 处的切线方程为 ,求的值(Ⅱ)当时,讨论函数 的零点个数. 【解析】 (Ⅰ)因为曲线 在点 处的切线方程为 . 所以 , .由得.(Ⅱ)当时,令得或.①当即时, 当 变化时, 的变化情况如下表: 北京新东方优能中学&

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19 J 极大值 K 极小值 J 所以函数在上单调递减,在和上单调递增. 又因为 , 所以函数 有一个零点. ② 当 ,即 时, 当 变化时, 的变化情况如下表: J J 所以函数 在 上单调递增. 又因为 ,所以函数 有一个零点. ③ 当 ,即 时, 当 变化时, 的变化情况如下表: J 极大值 K 极小值 J 所以函数在上单调递减,在和上单调递增. 又因为 , 北京新东方优能中学&

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20 . 所以当 时,此时 ,函数 有一个零 点当时,此时 ,函数 有两个零点 当时,此时 ,函数 有三个零点. ④ 当即时,显然函数 有两个零点. 综上所述,(1) 时,函数 有一个零点 (2) 时,函数 有两个零点 (3) 时,函数 有三个零点. 19.(本小题满分

14 分) 已知抛物线 (Ⅰ)写出抛物线 的准线方程,并求抛物线 的焦点到准线的距 离(Ⅱ)过点 且斜率存在的直线 与抛物线 交于不同的两点 且点 关于 轴的对称点为 ,直线 与 轴交于点 . (i)求点 的坐标 (ii)求与面积之和的最小值. 北京新东方优能中学&

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21 【解析】 (Ⅰ)由题可得 ,所以准线方程为 抛物线 的焦点到准线的距离为 . (Ⅱ) ( i ) 解:令则且令,令所以 则直线 方程为 当时, , 所以 (ii)解: 北京新东方优能中学&

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22 则 当且仅当 时,即 等号成立 20.(本小题满分

13 分) 若无穷数列 满足:存在 ,并且只要 就有 ( 为常数, ),则称 具有性质 . (Ⅰ)若 具有性质 ,且 ,求 (Ⅱ)若无穷数列 的前 项和为 ,且 ,证明存在 无穷多个 的不同取值,使得数列 有性质 (Ⅲ) 设 是一个无穷数列,数列 中存在 , 且 .求证: 为常数列 是 对任意正整数 , 都具有性质 的充分不必要条件. 【解析】 (Ⅰ)因为 具有性质 ,且 所以 北京新东方优能中学&

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23 由 ,得 ,所以 ,经检验符合题意. (Ⅱ)因为无穷数列 的前 项和为 ,且,所以 当时, , 若存在 则,取(且为常数), 则 ,对 ,有 所以数列 有性质 ,且 的不同取值有无穷多个. (Ⅲ)证明:当 为常数列时,有 (常数), 对任意正整数,因为存在,则由,必有,进而有 ,这时 , 所以 都具有性质 . 所以, 为常数列 是 对任意正整数 , 都具有性质 的充分 条件. 取 ,对任意正整数 , 由,得,因为 为正整数,所以 ,且.北京新东方优能中学&

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24 当时, 对任意 ,则 同为奇数或同为偶数, ①若 同为偶数,则 成立 ②若 同为奇数,则 成立 所以若对于任意 满足 ,则取 , , 故 具有性质 ,但 不为常数列, 所以 为常数列 是 对任意正整数 , 都具有性质 的不必 要条件. 证毕. ................