PDF《2019 北京市朝阳区高三二模 数学（理）》

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11 开始 结束 输出 是否2019 北京市朝阳区高三二模 数学(理) 2019.

5 (考试时间

120 分钟 满分

150 分) 本试卷分为选择题(共40 分)和非选择题(共110 分)两部分 第一部分(选择题 共40 分)

一、选择题:本大题共

8 小题,每小题

5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 , ,则A. B. C. D. 且2. 复数 的虚部为 A. B. C. D. 3.在数学史上,中外数学家使用不同的方法对圆周率 进行了估算.根据德国数学家 莱布尼茨在

1674 年给出的求 的方法绘制的程序框图如图所示.执行该程序框图,输出的值为 A. B. C. D. 4.在中, , , ,则A. B. C. D. 5. 已知等差数列 的首项为 ,公差 .则" 成等比数列" 是" "的.充分而不必要条件 . 必要而不充分条件 . 充要条件 . 既不充分也不必要条件

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11 6. 已知函数 若函数 存在零点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 7. 在棱长为

1 的正方体 中, 分别为线段 和 上的动点, 且满足 ,则四边形 所围成的图形(如图所示阴影部分)分别在该正 方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和 A. 有最小值 B.有最大值 C. 为定值 D. 为定值 8.在同一平面内,已知 为动点, 为定点,且,,

,为中点.过点 作交所在直线于 ,则在方向上投影的最大值是 A. B. C. D. 第二部分(非选择题 共110 分)

二、填空题:本大题共

6 小题,每小题

5 分,共30 分.把答案填在答题卡上. 9. 已知 , , ,则,,

中最小的是 . 10.已知点 在抛物线 上,则点 到抛物线 焦点的距离是 . 11.圆(为参数)上的点 到直线 ( 为参数)的距离最小值是 . 12. 已知实数 满足 能说明"若 的最大值为 ,则 "为假命题的一组 值是.13.由数字 组成没有重复数字的三位数,偶数共有 个,其中个位数字比十位数字大的偶数共 有个.

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11 14. 如图,在平面直角坐标系 中,已知点 , .线段 上的动点 满足 ;

线段 上的动点 满足 .直线 与直线 交于点 , 设直线 的斜率记为 ,直线 的斜率记为 ,则 的值为_______;

当 变化时,动点 一定在 填"圆、椭圆、双曲线、抛物线"之中的一个)上.

三、解答题:本大题共

6 小题,共80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分

13 分) 已知函数 . (Ⅰ)求函数 的最小正周期;

(Ⅱ)当时,求证: . 16.(本小题满分

13 分) 某电视台举行文艺比赛,并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有

5 名专家评委给每位参赛选手评分,场外观 众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场 专家评分情况如下表;

场外有数万名观众参与评分,将评分按照 分组,绘成频率分布直方图如下: (Ⅰ)求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于

9 的概率;

(Ⅱ)从5名专家中随机选取

3 人, 表示评分不小于

9 分的人数;

从场外观众中随机选取

3 人,用频率估计概 率, 表示评分不小于

9 分的人数;

试求 与 的值;

专家 A B C D E 评分 9.

6 9.

5 9.

6 8.

9 9.

7 0.5 a 0.2

7 8

9 10 评分 O 频率 组距

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11 (Ⅲ)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分: 方案一:用所有专家与观众的评分的平均数 作为该选手的最终得分. 方案二:分别计算专家评分的平均数 和观众评分的平均数 ,用 作为该选手最终得分. 请直接写出 与 的大小关系. 17.(本小题满分

14 分) 在三棱柱 中,底面 是正三角形,侧棱 底面 . , 分别是边 , 的中 点,线段 与 交于点 ,且,.(Ⅰ) 求证: 平面 ;

(Ⅱ) 求证: 平面 ;

(Ⅲ) 求二面角 的余弦值. 18. (本小题满分

13 分) 已知函数 ( ,且). (Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;

(Ⅱ)若函数 的极小值为 ,试求 的值. 19. (本小题满分

14 分) 已知椭圆 的离心率为 . (Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)设直线 过点 且与椭圆 相交于 两点.过点 作直线 的垂线,垂足为 .证明:直线 过 轴上的定点. 20.(本小题满分

13 分) 对于由有限个自然数组成的集合 ,定义集合 , 记集合 的元素个数为 . 定义变换 ,变换 将集合 变换为集合 . (Ⅰ)若,求;

5/11 (Ⅱ)若集合 有 个元素,证明:" "的充要条件是"集合 中的所有元素能组成公差不为 的等差数列";

(Ⅲ)若且,求元素个数最少的集合 .

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11 数学试题答案

一、选择题:(本题满分

40 分) 题号

1 2

3 4

5 6

7 8 答案 A B C B C D D C

二、填空题:(本题满分

30 分) 题号

9 10

11 12

13 14 答案 (答案不唯一) 双曲线

三、解答题:(本题满分

80 分) 15. (本小题满分

13 分) 解:(Ⅰ) 所以 的最小正周期 . ………….6 分(II)因为 ,即,所以 在 上单调递增. 当时,即时, 所以当 时,13 分16.(本小题满分

13 分) 解:(Ⅰ)由图知 ,某场外观众评分不小于

9 的概率是 . ………….3 分(Ⅱ) 的可能取值为 . ;

.

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11 所以 的分布列为 所以 . 由题意可知, ,所以 . ………….10 分13 分17.(本小题满分

14 分) (I)因为 为 中点, 为 中点.所以 . 又因为 平面 , 平面 , 所以 平面 . ………….4 分(Ⅱ) 取 的中点 ,连接 . 显然 , , 两两互相垂直,如图,建立空间直角坐标系 , 则 , . 所以 , , . 又因为 , , 所以 . 又因为 ,所以 平面 . ………….9 分(Ⅲ)显然平面 的一个法向量为 . 设平面 的一个法向量为 , 又,,

8/11 由得设,则 , ,则.所以 . 设二面角 的平面角为 ,由图可知此二面角为锐二面角, 所以 . ………….14 分18. (本小题满分

13 分) 解:由题意可知 , . (Ⅰ) , , 所以曲线 在点 处的切线方程为 . ………….3 分(Ⅱ)①当时, 变化时 变化情况如下表: K 极小值 J 极大值 K 此时 ,解得 ,故不成立. ②当时, 在 上恒成立,所以 在 单调递减. 此时 无极小值,故不成立. ③当时, 变化时 变化情况如下表: K 极小值 J 极大值 K 此时极小值 ,由题意可得 ,

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11 解得 或.因为 ,所以 . ④当时, 变化时 变化情况如下表: K 极小值 J 此时极小值 ,由题意可得 , 解得 或 ,故不成立. 综上所述 . ………….13 分19. (本小题满分

14 分) (Ⅰ)由题意可得 解得 所以椭圆 的方程为 . ………….4 分(Ⅱ)直线 恒过 轴上的定点 .证明如下 (1) 当直线 斜率不存在时,直线 的方程为 , 不妨设 , , . 此时,直线 的方程为: ,所以直线 过点 . (2)当直线 的斜率存在时,设,,

.由得.所以 .

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11 直线 ,令 ,得 , 所以 . 由于 ,所以 . 故直线 过点 . 综上所述,直线 恒过 轴上的定点 . ………….14 分20. (本小题满分

13 分) 解:(Ⅰ)若集合 , 则.….3 分(Ⅱ)令 .不妨设 . 充分性:设 是公差为 的等差数列. 则且.所以 共有 个不同的值.即.必要性:若.因为 , . 所以 中有 个不同的元素: . 任意 ( ) 的值都与上述某一项相等. 又 ,且 , .

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11 所以 ,所以 是等差数列,且公差不为 0. ….8 分(Ⅲ)首先证明: . 假设 , 中的元素均大于 , 从而 , 因此 , , 故,与矛盾, 因此 . 设 的元素个数为 , 的元素个数至多为 , 从而 的元素个数至多为 . 若,则元素个数至多为 , 从而 的元素个数至多为 , 而 中元素至少为 26, 因此 . 假设 有三个元素, 设,且,则从而 .若,中比 大的最小数为 ,则,与题意矛盾, 故.集合 中最大数为 , 由于 , 故,从而 . (i)若且.此时, , 则有 , 在22 与28 之间可能的数为 . 此时 23,24,25,26 不能全在 中, 不满足题意. (ii)若且.此时, , 则有 , 若,则或解得 或.当时, , 不满足题意. 当时, 满足题意. 故元素个数最少的集合 为………….13 分