PDF《狄拉克和他的》

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106 数学文化/第6卷第1期 数学趣谈 狄拉克和他的 δ函数 δ 如果让我选一个 最优美的函数 的话,我会选 狄拉克 δ 函数 .

1 狄拉克 δ 函数为数学家、物理学家及工程技术人员所熟悉 ;

它由英国科学家保罗 ? 狄拉克引进,因而得名. 保罗?狄拉克(Paul Adrien Maurice Dirac)

1902 年8月8日出生于英国的布里斯托尔(Bristol) ,就读于主教路(Bishop Road)小学, 在和布里斯托尔大学合办的 Merchant Venturers 男 子技术学校(现已不存在)读完中学,之后在布 里斯托尔大学工学院电子工程及应用数学专业以 优异成绩毕业,最后于

1926 年在剑桥大学圣约翰 学院取得物理博士学位. 有两件事足以表明狄拉克在学术界的地位:英国剑桥大学有一个灿耀得无与伦比的卢 卡斯数学荣誉讲座教授职位,于1663 年根据 当时著名的大学议会议员亨利 ? 卢卡斯(Henry Lucas)的捐款和遗愿而设立.曾荣登此宝座的 有大名鼎鼎的牛顿和霍金.1932 年,30 岁的狄 拉克便荣膺这个桂冠.翌年,狄拉克和薛定谔 (Erwin Schr?dinger)一起分享了当年的诺贝尔 物理奖. 我通常认为狄拉克是一个 工程物理数学家 .在向大家作更详尽的解释之前,先 让我们一起来简要地回顾他的 δ 函数的背景和简史. 对于工程技术人员、物理学和应用科学家们来说,下面这两个式子算是定义了 δ 函数 : δ(x ? x0 ) = ∞ x = x0 ∈R,

0 otherwise, ? ? ? ? ? δ(x)dx =

1 ?∞ ∞ ∫ . 这两个式子一目了然且功能巨大 : 对实轴 R 上的任何连续函数 f(x) 和任何实数 r 都有 f (x)δ(x ? r)dx = f (r). ?∞ ∞ ∫ 陈关荣 保罗 ? 狄拉克 he Joy of Mathematics 数学文化/第6卷第1期107 数学趣谈 这实在太好用了,不是吗? 数学家对此不以为然,因为它不是一个常义下的标准实值函数.它只是一种广义 函数,因而需要把它的定义严格化.现在知道,可以把 δ 函数严格地定义为一种测度 : 对定义在实轴上任意连续函数 f(?),可以令 δ 为满足 LebesgueCStieltjes 积分 f (x)δ{dx} = f (x)d{H(x)} ?∞ ∞ ∫ ?∞ ∞ ∫ 的一种测度,其中 H(x) 是Heaviside 阶梯函数.也可以把 δ 函数严格地定义为一种 Sobolev-Schwartz 分布 :考虑一个包含所有某类足够光滑的、在实轴上具有紧支集 Ω 的函数 ?(称为试验函数)的空间 S.此空间中每一个有定义的连续线性泛函都称为是 一个分布.一个定义在空间 S 中具有紧支集 Ω = {0} 的线性泛函被称为狄拉克 δ 函数. 在这里让我们更感兴趣的,是δ函数出现的历史契机. 几乎所有的科学发现和技术发明都有历史可循,基本相同或相似的思想火花在漫 长的过去时常已有浮现甚至多次闪烁.回顾一下历史,数学家和物理学家共同探讨数 学问题的现象在十九世纪初就已经很普遍,那时许多科学家同时是数学家和物理学家. δ 函数的基本思想可以追溯到泊松(Siméon Poisson)在1815 年关于复平面上线积分 的研究以及傅立叶(Jean-Baptiste Fourier)在1822 年关于热的解析理论一书.特别是 柯西(Augustin-Louis Cauchy)在1815 年写成、1827 年发表的一篇关于无穷小分析的 论文里,实际上已经使用了无限高和无限窄的单位脉冲来做积分核,因此后人也称之 为柯西 δ 函数,或柯西 - 狄拉克 δ 函数.后来,基尔霍夫(Gustav Kirchhoff )在1882 年关于积分方程的研究和海威赛(Oliver Heaviside)在1883 年关于奇异函数的求导中, 都间接隐晦地使用了实质上的 δ 函数. 我们今天使用的 δ 函数的简单明确表述形式归功于狄拉克.狄拉克需要 δ 函数的 主要动因来自他对量子力学的研究.也许是基于下面马上就要来介绍的狄拉克关于 δ 函数的自然又合理的引进方式,后人都把它称为 狄拉克 δ 函数 . 早在十九世纪,克罗内克(Leopold Kronecker)就引进了离散 δ 函数 δij =

1 i = j,

0 i ≠ j, ? ? ? ? ? 其中 i 和j为任意整数. 狄拉克 δ 函数是对它的一种自然却又艰难的推广. 我们不妨猜测, 狄拉克当时考虑一个粒子 a 的量子态,并创造性地用符号 a 来标记(现称为狄拉克符 号) .首先,狄拉克把它在一个有限维的完备内积空间中作展开 : a = a1 x1 + a2 x2 +?an xn , 其中 xi { }i=1 n 为正交基底,满足 xi xj = δij , i, j = 1,2,…,n .于是,从基底态 xi 去计算 量子态 a 的概率为 pi = xi a = ai ,从而 a = xi a xi i=1 n ∑ , 然后,狄拉克要把上式推广到无穷维的量子态空间去,以便描述粒子 a 的完全状态 : a = a1 x1 + a2 x2 +?an xn +?. he Joy of Mathematics

108 数学文化/第6卷第1期 数学趣谈 因为粒子 a 的量子态是连续而不是离散的,从而需要把这个无穷级数换成积分 : a = f (x) x ?∞ ∞ ∫ dx, 其中 f(x) 是在位置 x 上粒子出现的概率,满足 f (x'

) = x'

a = f (x) x'

x ?∞ ∞ ∫ dx. 这个关系式对所有的量子态 a 成立,因而对所有的 f(x) 也成立.剩下的问题是如何去 找 函数 x'

x 使得上述积分成立.为简单起见,考虑位置 x'

=

0 并记 g(x) =

0 x . 于是上式变成 f (0) = f (x)g(x) ?∞ ∞ ∫ dx. 啊哈,这个 函数 g(x),不就是狄拉克想要的 δ 函数 吗?!δ函数是狄拉克留给后人的一个可喜可贺的数学贡献.更重要的是,狄拉克的名字 和二十世纪最重要的科学成果之一的 量子力学 密不可分.

1928 年狄拉克

26 岁,提出了一个符合相对论的关于电子的方程式,即后来著名 的狄拉克方程,这里简写为 : (i?1 r? ?? + m)ψ = 0, 其中 m 为质量,r μ 是狄拉克引进的特殊矩阵(现称为狄拉克矩阵) ,ψ 是狄拉克引进的 一个用于描述自旋 ?

1 2 基本粒子场(现称为狄拉克场) .这个方程式被后人称为是世界 上和历史上最漂亮的几个方程式之一,它能非常成功地推导出所有已知的关于电子的 属性.但是,这个方程式隐含着一个致命的问题,就是它有具有负能量的量子态的解, 而这一点是违背当时物理学基本理论的.可是,把这种解丢掉的话又会引来一些数学 的内在矛盾.怎么办呢? 狄拉克在冥思苦想了两年之后,在1930 年提出了一个非常大胆的猜想 :具有负能 量的量子态是存在的,只是我们还没有观测到!他的论据是,这种量子态通常被电子占 据了,而电子又遵循不兼容原理,所以其它电子无法进驻这些带负能量的量子态,致使 这些负能量态好像不起任何作用 ;

但是,一旦某个负能量态空了出来,它的行为就会像 一个带正电的粒子一样.狄拉克认为这个 空穴 应该是一种新粒子, 并称之为正电子. 他还指出,真空中充满了无限多这种具有负能量的粒子态,后人称之为 狄拉克海 . 时间很快又过去了两年.1932 年,卡尔 ? 安德森(Carl Anderson)在宇宙线中发 现了正电子,证实了狄拉克的预言真的是 空穴来风 !当时的新闻震惊了整个科技界. 狄拉克因此和薛定谔一起分享了

1933 年的诺贝尔物理奖――那时狄拉克才

31 岁,在 他剑桥大学博士论文《量子力学》答辩七年之后.这期间,狄拉克还发展了费米 - 狄拉 克(Fermi-Dirac)统计原理并开创了量子电动力学.顺便提及,到1936 年,卡尔 ? 安 德森也获得了诺贝尔物理奖. 狄拉克对正电子的正确预测是近代理论物理最伟大辉煌的成就之一.现在我们 知道,不仅负电子有其相反的正电子,所有粒子都有其反粒子――反质子和反中子于 1955-56 年相继在美国加州劳伦斯 - 伯克利国家实验室(Lawrence Berkeley National Laboratory)中被发现,反氢原子则于

1995 年在欧洲核子研究组织(CERN)被成功制 造出来――反粒子的存在性证明是量子力学与相对论相结合之后的必然结果. he Joy of Mathematics 数学文化/第6卷第1期109 数学趣谈 前面说过,几乎所有的科学发现和技术发明都有历史可循.历史纪录表明,在德 国出生的英国物理学家舒斯特 (Sir Franz Schuster) 早在

1898 年就曾两次写信给 《自然》 杂志,推测反原子和太阳系中反物质的存在.狄拉克则给出了科学理论根据.今天科 学家们虽然相信反粒子可以进一步构成各种物质的反物质,但同时也知道反物质与物 质并不对称地存在,它们在太阳系中微乎其微并且与物质相互湮灭,因而不会对人类 带来特别的好处或者伤害 ――至少目前来看是这样. 狄拉克极具天才物理学家的直觉.1931 年,他在对电磁场理论做了深入研究后得 出一个令人惊奇的结论 :电场和磁场应当对称.他认为如果存在只有一个极而不是同 时具有南北两极的磁粒子(称为磁单极子)的话, 电和磁现象就具有美好的完全对称性. 狄拉克预测了磁单极子的存在.它不仅使麦克斯韦方程具有了完全对称的形式,而且 可以解释电荷的量子化现象,条件是任何带电粒子的电荷必须是单位电荷的整数倍以 及任何带磁粒子(磁单极子)的磁荷必须是单位磁荷的整数倍.这一结论揭示了电荷 和磁荷的不连续性,解释了悬而未决的 电荷量子化 难题.可是,多年来科学家们 通过种种方式寻找磁单极子,均一无所获,直到

1994 年美国物理学家塞伯格(Nathan Seiberg)和威滕(Edward Witten)才从理论上证明磁单极子可以存在.不过,功夫不 负有心人,2013 年德国亥姆霍兹国家研究中心联合会(Helmholtz-Gemeinschaft)的研 究人员莫里斯(Jonathan Morris)在其他大学同事的协作下,首次观测到了磁单极子在 一种实际材料中出现的过程,从而证实了它的存在.他们的研究报告于当年

9 月3日发表在《科学》杂志上.

2 自古名人多轶事,狄拉克也不例外. 狄拉克一生多思寡言,总是被同事称为怪诞之人.当年剑桥大学的同事们在描述 狄拉克时有一个善意的玩笑,把 一小时说一个字........