PDF《2019 年北京市西城区高三期末数学（文科）逐题解析》

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1 2019 年北京市西城区高三期末数学(文科)逐题解析

一、选择题共

8 小题,每小题

5 分,共40 分.

在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 , ,那么 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 ,集合 中元素为偶数, 所以 ,故选 B. 2.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A 和B不满足偶函数,D 选项 不满足在区间 上单调 递增,故选 C. 3.一个四棱锥的三视图如图所示, 那么这个四棱锥最长棱的棱长为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由图知 为最长棱, 且 ,故选 C. 北京新东方优能中学&

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2 4.设 满足约束条件 则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】可行域如图所示, 最小值为直线 截距最小值的

3 倍, 当其过点 时,截距最小, 可知此时 ,故选 A. 5.执行如图所示的程序框图,若输入的 ,则输出数据的总个数为 A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】 (1) 是,输出 ;

(2) 是,输出 ;

(3) 是,输出 ;

(4) 是,输出 ;

(5) 是,输出 ;

(6) 是,输出 ;

(7) 否 结束,所以输出数据总个数为 ,故选 B. 北京新东方优能中学&

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3 6.在等比数列 中, 是 为递增数列 的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 等比数列 ,当时, , 此时 为摆动数列,故 不是 为递增数列 的充分条件. 递增 ,故 是 为递增数列 的必要条件. 因此为必要而不充分条件,故选 B. 7.设 是不共线的两个平面向量,已知 ,若三点共线,则实数 的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 三点共线, 存在唯一的实数 使得 , 即,,

解得 ,故选 D. 8.设双曲线 的左焦点为 ,右顶点为 .若在双曲线 上,有且 只有 个不同的点 使得 成立,则A. B. C. D. 北京新东方优能中学&

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4 【答案】D 【解析】设,由,,

得 , 即,所以点 在 以点 为圆心,半径 的圆 上, 又因为点 在双曲线 上, 有且只有

3 个交点,所以此圆过双曲线右顶点, 即半径 , 所以 ,故选 D.

二、填空题共

6 小题,每小题

5 分,共30 分. 9.复数 满足方程 ,则______. 【答案】 【解析】左右同乘 后, 即 所以 . 10.以抛物线 的焦点为圆心,且与直线 相切的圆的方程 为______. 【答案】 【解析】 焦点为 , 设,切线 到圆心的距离为 . 所以 ,即.北京新东方优能中学&

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5 11.能说明 设函数 的定义域为 ,若 ,则 是奇函数 为 假命题的一个函数是______. 【答案】 (答案不唯一) 【解析】只需找出一个满足 的函数 不是奇函数即可.故 (答案不唯一). 12.在中, ,则______. 【答案】 【解析】 , , 由正弦定理可知, , . 13.设函数 ,则______;

若方程 有且仅 有 个不同的实数根,则实数 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 . 当时, 单调递增, , 当时, 单调递增, , 当时, 单调递减, , 函数 图象如右图所示, 有且仅有 个不同的实数根, 即与有三个不同的交点, . 北京新东方优能中学&

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6 14.在某次国际交流活动中,组织者在某天上午安排了六场专家报告(时间 如下,转场时间忽略不计) ,并要求听报告者不能迟到和早退. 某单位派甲、乙两人参会,为了获得更多的信息,单位要求甲、乙两人所 听报告不相同,且所听报告的总时间尽可能长,那么甲、乙两人应该舍去 的报告名称为_______. 【答案】D 【解析】经观察 段与其它段重复最多,若一个人去参加 段,则此人只 能参加 两个报告,此人的时间为 分钟,此时另一人则最多只能参加 两会议,时间为 分钟,二人最大总和 分钟.若舍弃 段,则一人 参加 报告, 另一人参加 报告, 每个人时间都为 分钟, 总和 分钟,实现了参会时间最长的目的,故应舍弃 . 北京新东方优能中学&

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三、解答题共

6 小题,共80 分.解答题写出文字说明、演算步骤或证明 过程. 15.(本小题

13 分) 已知函数 . (I)求 的最小正周期;

(II)若直线 为函数 图象的一条对称轴,求实数 的值. 【解析】 (I)因为 所以 的最小正周期 . (II)由(I)知, , 因为直线 为函数 图象的一条对称轴, 所以 为函数 的最大值或最小值, 即,所以 ,其中 , 解得 . 北京新东方优能中学&

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8 16.(本小题

13 分) 在各项均为正数的等比数列 中, ,且.(I)求数列 的通项公式;

(II)设数列 的前 项和为 ,求 的最小值. 【解析】 (I)设数列 的公比为 , 由 ,得 , 又因为 , ,所以 , 解得 (舍) ,或,由,得 , 所以 . (II)设 ,则 , 所以 是首项为 ,公差为

1 的等差数列. 故当 时, ;

当时, ;

当时, . 所以 或时, 取到最小值 . 北京新东方优能中学&

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9 17. (本小题

13 分) 为保障食品安全,某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进 行检查,分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了

100 件作为 样本, 并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应 的产品等级如下: 根据质量指标值的分组,统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和 乙企业的样本频率分布表(

图表如下,其中 ). (I)现从甲企业生产的产品中任取一件,试估计该件产品为次品的概率;

(II)为守法经营、提高利润,乙企业开展次品生产原因调查活动.已知乙 企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析,求这两件次品中恰有一 件指标值属于 的产品的概率;

(Ⅲ)根据

图表数据,请自定标准,对甲,乙两企业食品质量的优劣情况 进行比较. 北京新东方优能中学&

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10 【解析】 (I)由 ,得 , 则甲企业抽样的次品频率为 , 由频率估计概率,所以从甲企业生产的产品中任取一件产品为次品的概率 为.(II)记 从乙企业样本里的次品中任取两件产品,恰有一件产品是指标 值属于 的产品 为事件 . 记质量指标值在 内的

2 件产品样本分别为 、 ,质量指标值在 内的

2 件产品样本分别为 、 , 则从乙企业样本里的次品中任取两件产品,所有可能结果有

6 种, 即( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , 事件 的结果有

4 种,是( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , 所以 . 即从乙企业样本里的次品中任取两件产品,恰有一件产品是指标值属于 的产品的概率为 . (Ⅲ) (标准不同,答案不唯一) 标准:次品率越高,企业越差. 由

图表知,甲企业次品率为 ,乙企业次品率为 , 因为 , 所以乙企业生产的食品质量要优于甲企业生产的食品质量. 北京新东方优能中学&

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11 18.(本小题

14 分) 如图, 在三棱柱 中, 侧面 为正方形, 分别是 , 的中点, 平面 . (I)求证:平面 平面 ;

(II)求证: 平面 ;

(III)若三棱柱 的体积为 ,求棱锥 的体积. 【解析】 (I)证明:在三棱柱 中, 因为侧面 为正方形, 所以 , 因为 面,面,所以 , 又因为 面,面,,

所以 面,又因为 面 ,所以面 面.(II)设 中点为 ,连接 , 由 分别是 的中点,得 ,且 . 又因为 ,且,所以 ,且,所以四边形 为平行四边形, 所以 . 又因为 面,面,所以 面.北京新东方优能中学&

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12 (III)连接 ,根据棱柱和棱锥的体积公式, 得三棱锥 的体积 , 又因为 为 的中点, 所以棱锥 . 北京新东方优能中学&

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13 19.(本小题

14 分) 已知椭圆 的离心率为 , 左、 右顶点分别为 , 点 是椭圆 上异于 的一点,直线 与 轴交于点 . (I)若点 在椭圆 的内部,求直线 的斜率的取值范围;

(II)设椭圆 的右焦点为 ,点在轴上,且 ,求证: . 【解析】 (Ⅰ)由,,

解得 , 故椭圆方程为 . 由题意得直线 的斜率存在, , 故设直线 , 令 ,得 , 在椭圆 的内部, ,即,又为异于 的一点, . (Ⅱ)由题意,直线 的斜率存在且不为 , 故设直线 . 联立 , 设 ,则 , , ,则.北京新东方优能中学&

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14 , , 直线 方程为 , 令 ,得 , . 设 ,由 ,得,.,,

解得 . , . 北京新东方优能中学&

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15 20.(本小题

13 分) 已知函数 ,其中 . (I)如果曲线 与 轴相切,求 的值;

(II)若 ,证明: ;

(III)如果函数 在区间 上不是单调函数,求 的取值范围. 【解析】 (I)求导,得,因为曲线 与 轴相切,所以此切线的斜率为 , 由 ,解得 , 又由曲线 与 轴相切,得,解得 . (II)由题意, , 令函数 , 求导,得,由,解得 . 北京新东方优能中学&

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16 当 变化时, 与 的变化情况如下表所示: + - J 极大值 K 所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 故当 时, , 所以任给 , ,即.(III)由题意,得,求导,得.因为 ,所以 与 的正负号相同. 对 求导,得,由,解得 . 当 变化时, 与 的变化情况如下表所示: K 极小值 J 所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 又因为 , , 所以 ;

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17 如果函数 在区间 上单调递增,则当 时, .所以在区间 上恒成立,即.解得 ,且当 时, 的解有有限个. 即当函数 在区间 上单调递增时, ;

① 如果函数 在区间 上单调递减,则当 时, , 所以 在区间 上恒成立,即,解得 ,且当 时, 的解有有限个, 所以当函数 在区间 上单调递减时, .② 因为函数 在区间 上不是单调函数, 结合①②,可得 , 所以实数 的取值范围是 . ........