PDF《WrLR-》

第3 6卷第3期西南师范大学学报(自然科学版)

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1 1年6月Vol.

3

6 N o .

3 J o u r n a l o f S o u t h w e s tC h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y( N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n ) J u n .

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1 1 文章编号:

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0 0

5 4

7 1 (

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1 1 )

0 3

0 0

0 7

0 4 Wr L R - 拟正规密码群并半群的一些刻画 ① 鲜朝霞西南大学 数学与统计学院,重庆

4 0

0 7

1 5 摘要:刻画了1类新的正则密码群并半群,即WrL R - 拟正规密码群并半群.得到这类半群可以唯一地表示为某些 完全单半群的特殊的 WR 型半格.同时考察了 WrL R - 拟正规带和 WL R - 拟正规纯正群并半群的性质. 关键词:WrL R - 拟正规密码群并半群;

WL R - 拟正规纯正群并半群;

WrL R - 拟正规带;

WR 型半格 中图分类号:O

1 5

2 .

7 文献标志码:A 本文得到新的带,即WL R - 拟正规带,并对 WL R - 拟正规带的特殊情况进行研究.称完全正则半群S 是纯正群并半群,如果S 的幂等元集E( S)构成S 的子半群;

称纯正群并半群为C -纯正群并半群,如果它 的幂等元集是C -带;

称完全正则半群S是密码群并半群,如果S上的格林关系H是同余;

称密码群并半群 S 为C-密码群并半群,如果S / H是C-带. 本文若无特别指出, S均表示完全正则半群.对?a∈S, V( a) 表示a的所有逆元的全体, a

0 表示a所在H类的单位元, a -

1 表示a在它所在 H类里的逆元. L O表示局部纯正群并半群簇. 定义1 [

1 ] 令B 是带.称B 是左( 右) 拟正规带,如果对 ? e, f, g∈B,有e f g= e f e g( g f e= g e f e) .记这 类带的全体为 L Q N B( R Q N B) . 定义2 [

1 ] 令B 是带.称B 是正则带,如果对 ? e, f, g∈B,有e f g e= e f e g e.记这类带的全体为R e B. 定义3 令B 是带.称B 是Wr L R -拟正规带,如果对 ? e, f, g∈B,有e f g= e f e g 或g f e= g e f e.记这 类带的全体为 W L R Q N B. 显然, L Q N B∪R Q N B?W L R Q N B.又已知L Q N B?R e B和R Q N B?R e B,但可以通过以下2个例子知 道ReB与 W L R Q N B相互不包含. 例1 [

2 ] 令E={ e, f, g, h, i } .则有如下 C a y l e y表示 e f g h i e e e e e e f e f e h i g g g g g g h e f i h i i i i i i i 的E 是WL R - 拟正规带.但E 不是正则带,因为f h g f =h g f = i≠e=h f g f = f h f g f. 例2 [

2 ] 令E={ e, f, g, h, i } .则有如下 C a y l e y表示 ① 收稿日期:2

0 1

0 0

5 2

0 作者简介:鲜朝霞(

1 9

8 5 ) ,女,四川南充人,硕士研究生,主要从事半群代数理论的研究. e f g h i e e e e h h f e f g h i g g g g i i h e h e h h i g i g i i 的E 是正则带.但E 不是 WL R -拟正规带,因为e i f= h f= h≠e= e f= h e f= e i e f 和f i e= i e=g≠e= e g = e i g= f e i e. 定义4 令B 是WL R - 拟正规带.称B 是Wr L R - 拟正规带,如果B 还是正则带. 引理1 [

1 ] 令S=∪ α∈Y ( Y;

S α) , a∈S α, b∈S β ,其中α ≤β.则(a)a0=( a b a)

0 ;

( b ) a L b a, a R a b;

( c ) a=a( b a)

0 =( a b)

0 a. 定理1 令B 是带.则下列2条等价: ( i ) B 是Wr L R - 拟正规带;

( i i ) L, R是B 上的同余,且对 ? e, f, g ∈B 有e f gL f e g 或g e fR g f e. 证 (i)?( i i ) 由B 是正则的,易知L, R是B 上的同余.由B 是WL R -拟正规带知,对?e, f, g∈ B,有e f g= e f e g 或g f e= g e f e.又由引理1知: e f e gL f e g, g e f e R g e f.若e f g= e f e g,则f e gL e f g;

若g f e= g e f e, 则g f e R g e f. ( i i ) ?( i ) 由引理1知,对?e, f ∈B,有e f e L f e, e f e R e f.由L, R是B 上的同余易知B 是正则带, 且对 ?g ∈B,有e f e gR e f g 和g e f e L g f e.若e f gL f e g,则e f gL f e gL e f e g,即e f e gH e f g,从而e f e g= e f g.类似 地,若g e fR g f e,则g f e=g e f e. 引理2 [

1 ] 令S=∪ α∈Y ( Y;

S α) ,其中S α 是完全单半群.则以下各条等价: ( a ) S 是纯正的;

( b )对?α∈Y, S α 是纯正的;

( c )若e∈E( S) ,则V( e )?E( S) . 定理2 下列各条等价: ( i ) S 是WL R - 拟正规纯正群并半群;

( i i )对?a, x, y ∈S,有a x0 y=a x0 a

0 y 或y x0 a=y a0 x0 a;

( i i i )对?a, b∈S,?x ∈V( a) ,有a x b=a

0 b或b x a=b a0 ;

( i v )对?e, f ∈E( S) ,? a∈S,有e a f = e a e f 或f a e= f e a e. 证 (i)?( i i ) 由E( S) 是WL R -拟正规带知,对?a, x, y∈S,有a

0 x0 y

0 = a

0 x0 a

0 y

0 或y

0 x0 a

0 = y

0 a

0 x0 a

0 ,易得a x0 y=a x0 a

0 y 或y x0 a=y a0 x0 a. ( i i ) ?( i i i ) 对?a, b∈S,?x ∈V( a) ,有a x, x a ∈ E( S) .由假设知, a

0 ( a x) b=a

0 ( a x) a

0 b或b( x a) a

0 =b a0 ( x a) a

0 ,于是a x b= a

0 ( a x) b= a

0 ( a x) a

0 b= a x a0 b= a x a a-

1 b= a a-

1 b= a

0 b或b x a= b( x a) a

0 =b a0 ( x a) a

0 =b a0 x a=b a-

1 a x a=b a0 . ( i i i ) ?( i ) 由假设知,对?e, f, g ∈ E( S) ,?x ∈ V( e ) ,有e x x =e x 或xxe=x e.于是x=xex=xexx=x2 ∈E( S) 或x= x e x = x x e x = x2 ∈E( S) ,即V( e ) ?E( S) .由引理2知, S是纯正的.由fe∈V( e f) ,有e f e g=( e f) ( f e) g=( e f)

0 g= e f g 或g e f e=g( e f) ( f e) =g( f e)

0 =g f e,从而S 是Wr L R - 拟 正规纯正群并半群. ( i i ) ?( i v ) 易知S 是纯正的.由假设知,对?a, x, y ∈S,若a x0 y=a x0 a

0 y,则x0 ( x0 a)

0 a

0 = x0 ( x0 a)

0 x0 a

0 ,即( x0 a)

0 =( x0 a)

0 x0 a

0 ,从而x0 a L x0 a

0 .又由引理1知, x0 a R x0 a

0 ,于是( x0 a)

0 = x0 a

0 .特 别地,对?e, f ∈E( S) ,? a∈S,有a e f= a e a0 f,( e a)

0 = e a0 ,易得e a e f= e a e a0 f= e a( e a)

0 f= e a f.类 似地,若y x0 a=y a0 x0 a,则f a e= f e a e.

8 西南师范大学学报( 自然科学版) h t t p : / / x b b j b . s w u . c n 第3 6卷 (iv)?( i i ) 显然成立. 引理3 令S 是WL R - 拟正规密码群并半群.则对 ? e∈E( S) , e S e 是纯正的,即S ∈L O . 证对?e∈E( S) ,?f, g ∈E( e S e) ,有f= e f = f e, g=g e= e g.由S / H是WL R - 拟正规带知, g f g e H g f e 或e f g f gH e f g,即g f gH g f 或g f gH f g.若g f gH g f,则gf=g f( g f)

0 =g f( g f g)

0 =g f( g f)

0 g=g f g f g= f g( f g)

0 =f( g f g)

0 =f( g f)

0 =( f g f)

0 即g f, f g ∈E( S) ,类似地,若g f gH f g,则g f, f g ∈E( S) ,从而e S e 是纯正的. 易有如下结论: 引理4 令S 是半群,则下列2条等价: ( a ) S 是正则密码群并半群;

( b ) S 能唯一地表示为某些完全单半群的 WR 型半格. 引理5 令S=W R S [ Y;

S α, ρ α, β , Φ α, β ] .对?a∈S α,? b∈S β 且α ≥β,有a* b=( a Φb α, β ) b b* a= b( a Φb α, β ) 定义5 令S, T 是2个半群, ξ: S → ρ

2 T 是1个关系同态, ρ是半群T 上的等价关系.称ξ满足A S ′ - 条件,如果对 ? a∈S,? b, c∈T,有(aξbc)bc=( a ξ b ) b c b( a ξ b ) = b( a ξ c { ) 或bc( a ξ b c ) = b c( a ξ c ) ( a ξ b ) c=( a ξ c ) { c 易知,若ξ满足A S ′ - 条件,则ξ一定满足A S - 条件. 引理6 [

1 ] 下列各条等价: ( a ) S 是密码群并半群;

( b ) S 满足等式( a

0 b

0 )

0 =( a b)

0 ;

( c ) S 满足等式a0 ( b a)

0 =( a b a)

0 =( a b)

0 a

0 . 引理7 [

1 ] L O=[ ( a x)

0 ( a y)

0 =( ( a x)

0 ( a y)

0 )

0 ] . 定理3 令S 是半群.则下列各条等价: ( i ) S 是Wr L R - 拟正规密码群并半群;

( i i ) S 能唯一地表示为某些完全单半群的 WR型半格,即S=W R S [ Y;

S α, ρ α, β , Φ α, β ] ,且Φ α, β : S α ρ α, → β

2 S β 是满足A S ′ - 条件的关系同态. 证 (i)?( i i ) 由引理4知S=W R S [ Y;

S α, ρ α, β , Φ α, β ] .对?a∈S α,? b , c∈S β ,有α≥β, a Φb α, β = a( b a)

0 .由S 是Wr L R - 拟正规密码群并半群可得b a c aH b a c b a 或a c a b H a b c a b,即( b a c a)

0 =( b a c b a)

0 或(acab)

0 =( a b c a b)

0 .若( b a c a)

0 =( b a c b a)

0 ,则由引理

1、引理

3、引理6和引理7,有b( a Φc α, β ) = b a( c a)

0 = b a( b a)

0 ( c a)

0 = b a( a b a)

0 ( a c a)

0 = b a[ ( a b a)

0 ( a c a)

0 ]

0 = b a( a b a c a)

0 = b a( b a c a)

0 = b a( b a c b a)

0 = b a( b a)

0 = b( a Φc α, β ) 又因 为(aΦb c α, β ) b c = ( a b c)

0 a b c = ( a b)

0 a b c = ( a Φb α, β ) b c,类似地,若(acab)

0 = ( a b c a b)

0 ,则(aΦb α, β ) c= ( a Φc α, β ) c,且b c( a Φb c α, β ) =b c( a Φc α, β ) . ( i i ) ?( i ) 令S=W R S [ Y;

S α, ρ α, β , Φ α, β ] ,由引理4知, S是正则密码群并半群.由引理5知,对?α, β, γ ∈Y,? a∈S α,?x ∈S β ,? y ∈S γ,存在μ, υ∈S α β , ω, σ, η, ζ ∈S α β γ 使得 a*x =( a Φμ α, α β ( x Φμ α, α β ) x* a=( x Φυ α, α β ) ( a Φυ α, α β ) a*x* y =( a Φμ α, α β ) ( x Φμ β, α β ) Φω α β, α β γ y Φω γ, α β γ =( a Φμ α, α β Φω α β, α β γ) ( x Φμ ωβ, α β Φω α β, α β γ) y Φω γ, α β γ a*x* a* y=( a Φμ α, α β ) ( ( x Φμ β, α β ) a) y=

9 第3期 鲜朝霞:Wr L R - 拟正规密码群并半群的一些刻画 ( a Φμ α, α β ) ( x Φμ α, α β ) ( a Φ x Φ μ α, α β α, α β ) y= ( ( a Φμ α, α β ) ( x Φμ α, α β ) ( a Φ x Φ μ α, α β α, α β ) ) Φ σ α β, α β γ y Φσ γ, α β γ = ( a Φμ α, α β Φσ α β, α β γ) ( x Φμ α, α β Φσ α β, α β γ) ( a Φ x Φ μ α, α β α, α β Φσ α β, α β γ) y Φσ γ, α β γ 由假设知, y Φγ, α β γ ?ω ρ α β, α β γ ∩σ ρ α β, α β γ ,这意味着( ω, σ)∈ρ α β, α β γ .由Φ α β, α β γ 是从Sα β 到Sα β γ 关于ρ α β, α β γ 的关 系映射可知a Φμ α, α β Φσ α β, α β γ =a Φμ α, α β Φω α β, α β γ , x Φμ β, α β Φσ α β, α β γ =x Φμ β, α β Φω α β, α β γ .由引理1知a x yR a x a y,再由引理5知y*x* a= y Φζ γ, α β γ( x Φυ β, α β ) ( a Φυ α, α β ) Φ ζ α β, α β γ = y Φζ γ, α β γ( x Φυ β, α β Φζ α β, α β γ) ( a Φυ α, α β Φζ α β, α β γ) y* a*x* a= y( a( x Φυ β, α β ) ) ( a Φυ α, α β ) = y( a Φ x Φ υ β, α β α, α β ) ( x Φυ β, α β ) ( a Φυ α, α β ) = y Φη γ, α β γ( a Φ x Φ υ β, α β α, α β ) ( x Φυ β, α β ) ( a Φυ α, α β ) Φ η α β, α β γ = y Φη γ, α β γ( a Φ x Φ υ β, α β α, α β Φη α β, α β γ) ( x Φυ β, α β Φη α β, α β γ) ( a Φv α, α β Φη α β, α β γ) 类似地, y x a L y a x a.由假设知 a*x* y=( a Φμ α, α β Φω α β, α β γ) ( x Φμ β, α β Φω α β, α β γ) y Φω γ, α β γ = ( a Φμ α, α β Φω α β, α β γ) ( x Φμ β, α β Φω α β, α β γ) y Φσ γ, α β γ 或y*x* a= y Φζ γ, α β γ( x Φυ β, α β Φζ α β, α β γ) ( a Φυ α, α β Φζ α β, α β γ) = y Φη γ, α β γ( x Φυ β, α β Φζ α β, α β γ) ( a Φυ α, α β Φζ α β, α β γ) 于是根据 引理1可得a x yL y Φσ γ, α β γL a x a y 或y x a R y Φη γ, α β γR y a x a.从而a x yH a x a y 或y x aH y a x a,即S是Wr L R - 拟正规密码群并半群. 参考文献: [

1 ] P E T R I CH M, R E I L L Y N. C o m p l e t e l yR e g u l a rS e m i g r o u p s[ M] .N e w Y o r k: J o h n W i l e y&

S o n s ,

1 9

9 9:

7 4-7 5. [

2 ] S T O J ANB. S e m i g r o u p sW i t haS y s t e mo fS u b s e m i g r o u p s[ M] . S e r b i a : P u bo fN o v i S a d ,

1 9

8 5:

1 5 9-1

7 2. [

3 ] 黄磊,喻厚义,谷伟平.稠密相对正则语言的一些性质 [ J ] .西南大学学报:自然科学版,

2 0

0 8,

3 0 (

8 ) :

4 9-5 1. [

4 ] 李映辉,王守峰,张荣华.逆半直积的推广 [ J ] .西南大学学报:自然科学版,

2 0

0 8,

3 0 (

4 ) :

1 1-1 4. [

5 ] 程莉芳,孔祥智.正规 H # 富足半群 [ J ] .西南师范大学学报:自然科学版,

2 0

0 8,

3 3 (

5 ) :

1 2-1 4. S o m eC h a r a c t e r i z a t i o n so fWr L R - Q u a s i n o r m a lC r y p t o g r o u p s X I ANZ h a o - x i a S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s, S o u t h w e s tU n i v e r s i t y, C h o n g q i n g4

0 0

7 1 5, C h i n a A b s t r a c t : S o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so f Wr L R - q u a s i n o r m a lc r y p t o g r o u p sa r eg i v e n , n a m e l y , t h e yc a nb eu - n i q u e l ye x p r e........