PDF《分数阶控制器在电机振动控制中的应用*》

《工业控制计算机》2011 年第

24 卷第

10 期 *国家自然科学基金(60870009) 本文主要讨论了交流电机调速系统的分数阶 PI 控制.

介绍 了分数阶微积分的基本含义, 将其应用到 PI 控制器的设计中, 在电机调速系统中使用分数阶 PI 控制器控制,经过测试实验表 明分数阶 PI 控制器的可行性及其有效性[1-5] .

1 控制算法 1.1 分数阶微积分简介 分数阶微积分的一般定义为: a D α t f(t)= d α dt α f(t) Re(α)>

0 f(t) Re(α)=0 t a 乙f(t)(dτ) -α Re(α)<

乙乙乙乙乙乙乙0(1) 其中算子a D α t 即为求函数 f(t)的次导数或积分, a 和t为运 算的上下限. 分数阶微积分中微积分的阶次是任意阶的, 经常使用的分 数阶微积分定义是 GL(Grünwald-Letnikov)微积分定义: a D r t f(t)=lim h→0 h -r ∑ j=0 [(t-a) / h] (-1) j r ∑∑ j f(t-jh) (2) 其中,[ ・]表示整数部分, γ ∑∑ j = Г(γ+1) Г(j+1)Г(γ-j+1) = γ! j! (γ-j)! 为二项式系数,h 为计算步长. 为了使分数阶微积分的计算简化,RL 定义对 GL 定义进行 了改进,其分数阶微积分的定义为: a D r t f(t)=

1 Г(n-r) d n dt n t a 乙f(τ) (t-τ) r-n+1 dτ (3) 其中 Г[ ・]为Gamma 函数,Г(x)= +∞

0 乙e-t t x-1 dt. 1.2 控制算法的选择 目前用得比较多的分数阶离散化方法主要有:Euler 离散化 方法、Tustin 离散化方法、Simpson 离散化方法和AL-ALaoui 离散化方法. 根据实验数据得出的分析,比较各种离散化方法, Euler 离散化方法是以 FIR 滤波器为基础,在离散化需要的阶次 较高时,对控制系统带来很多不便;

Tustin 离散化方法无论在幅 频特性还是相频特性曲线的近似频带宽度都比较大更能与实际 的连续系统的频率特性相一致,因此具有广泛的适应性;

Simp- son 离散化方法随着阶次的升高, 相频特性曲线与实际连续曲 线的近似带宽差距越来越大,很不理想;

而AL-ALaoui 离散化 方法在保留了 Euler 离散化方法中较好的幅频特性的同时,相 频特性也得到一定的改善,但是与 Tustin 相比,相频特性却不如 Tustin. 所以,本实验中,我们采用 Tustin 的离散化方法来离散 分数阶控制器[6] .

2 分数阶 PI 控制器 2.1 分数阶 PI 控制器的设计 整数阶 PI 控制器的传递函数描述为: Gc (s)= U(s) E(s) =KP + KI s (4) 式中,U(s)为控制器的输出,E(s)为控制器的误差输入. 把式(4)中的积分项推广到分数,可以得到分数阶 PIλ 控制器的传 递函数为: Gcf (s)= U(s) E(s) =KP + KI s λ = KP s λ +KI s λ (5) 式中,λ>

0 为任意实数,是分数阶控制器的阶次;

KP、KI 为控 制器的控制参数. 其对应时域方程为: u(t)=KP e(t)+KI D -λ e(t) (6) 2.2 分数阶 PI 控制器的离散化 分数阶微积分算子的离散化是解分数阶微积分方程及分数 阶控制器设计的关键. 离散化方法分为直接离散化和间接离散 化,直接离散化应用更为广泛. 直接离散化法的基本思想是:分 数阶微积分 sr 可用生成函数 s=ω(z-1 )来表示,在离散时间域 Z 分数阶控制器在电机振动控制中的应用* 王林(大连交通大学软件学院,辽宁 大连 116028) 聂冰李文(大连交通大学电气信息学院,辽宁 大连 116028) Fractional Order Controller Performance Based on Tustin Discretization Methods 摘要对于一些复杂的控制系统,分数阶控制器的控制效果较于整数阶 PID 控制器的控制效果会更为优越. 主要是通过对 交流电机的振动抑制实验,从电机的转速和振动情况上分析,通过对参数的合理调节,分数阶控制器将获得比整数阶 PID 控制器更好的控制效果. 关键词:分数阶控制器,PID 控制器,振动频谱,Tustin 离散化方法 Abstract The fractional order controller will have a better effect than the integer-order PID controller for some real-time con- troller.So,from the experiments,this paper get the facts that based on the speed and vibration from the motor and the rea- sonable regulation of the parameters,fractional-order controller indeed has a better effect than the integer-order controller. Keywords:fractional,PID,the algorithm of control,the discrete method of Tustin

41 分数阶控制器在电机振动控制中的应用 中得到一个无理函数 ωr (z-1 ),之后使用一个有限阶次的有理函 数对其进行逼近. 利用 Tustin 算子进行连分式展开对其进行有 理化处理是比较有效的离散方法. Tustin 算子的生成函数为: (ω(z -1 )) ±r =

2 T 1-z -1 1+z -1 ±r (7) 将该生成函数应用连分式展开, 对其进行分数阶微积分算 子的近似. 函数 G(z)可以用连分式形式表示为: G(z)≈a0 (z)+ b1 (z) a1 (z)+ b2 (z) a2 (z)+ b3 (z) a3 (z)+… (8) 其中,ai(z)和bi(z)为z的有理函数或常量. 当Tustin 算子和 CFE 方法结合时,分数阶微积分的离散化 模型为: D r (z)= Y(z) F(z) =

2 T r CFE 1-z -1 1+z -1 r ≈ ≈ p,q =

2 T r Pp (z -1 ) Qq (z -1 ) (9) 其中,r∈[-1,1],CFE{u}表示对函数 u 进行连分式展开,P 和Q是变量 z-1 多项式,通常设定阶次 p=q=n,得到近似等式: D r (z)=1+ z -1 -

1 2

1 r + z -1 -2+ z -1

3 2 r (r

2 -1) + z -1 2+ z -1 -

5 2 r

2 -1 r(-4+r

2 ) + z -1 -2+… (10) 取逼近阶次为 3,分数阶微积分 sr 的离散化模型为: D r (z)=(r

3 -4r)z -3 +(6r

2 -9)z -2 +15rz -1 +15 (11)

3 控制实验 3.1 控制系统简介 本实验使用的软件是 NI 公司的 LabVIEW 软件, 硬件包括 NI 公司的

9234 模块、9265 模块和

9401 模块, 电机具体参数如表 1: 系统的结构原理图如图

1 所示. 首先给定输入信号到控制器,控 制器再通过

9265 模块将数字信号变 成模拟信号发送到被控电机,引起被控电机转动;

通过

9401 模 块将转速采回,与输入信号进行比较矫正,再将差值输入到控制 器进行进一步控制;

通过

9234 模块将振动数据采回,在Lab- VIEW 软件上形成频谱,并进行分析. 图2给出了系统的软件设计的核心部分, 分数阶控制器的 设计,也可以更改控制器的算法,使之成为 PID 控制器. 本实验的目的就是要证明分数阶控制器在振动抑制方面比 PID 控制器优越,因此,从转速图曲线和振动频谱两个方面来进 行分析:在转速曲线上选取 600rpm 和900rpm 两种状态;

而在 振动频谱上,我们同样选取 600rpm 和900rpm 两种情况,因为 在速度较高的情况下,振动图像会比较明显. 通过分数阶控制器 与PID 控制器的振动抑制效果的横向比较和不同转速之间的纵 向比较,最终得出结论. 3.2 实验分析 为了验证分数阶控制器 确实优越于整数阶PID 控 制器, 我们进行了 600rpm 和900rpm 两组实验, 实验 结果如下所示: 从图

3 可以看出,电机 在600rpm 的低速转动时,超调量几乎相同, 上升时间 分数阶明显比 PID 快些,在 电机平稳运行后, 我们会发 现分数阶控制器要比PID 控制器对电机的控制更加地 平稳;

而在图

4 中分数阶控 制器对电机的控制效果更加 明显, 在上升时间和超调量 大致相等的情况下, 在电机 运行平稳后, 分数阶控制器 控制下的电机非常明显的要 比PID 控制器控制下的电机运行的平稳得多, 而且这 种趋势随着时间的推移越发 明显. 再来分析振动数据, 在600rpm 的时候分数阶控制器的振 动频谱在低频段并没有显示出多大影响, 反而 PID 控制器在低 频段影响十分大,在高频段分数阶的影响相对较大,但是并没有 PID 在低频段的影响那么大. 在900rpm 时,情况和 600rpm 时 类似,但是 PID 控制器的振动图谱在低频段是更加明显,而分数 阶在高频段时保持相对稳定. 故可以说明,分数阶控制器在振动 方面也优于 PID 控制器. (下转第

44 页) 表1图1图2图3给定转速 600rpm 转速曲线 图4给定转速 900rpm 转速曲线

42 浅析 CFB 锅炉 CCS 及燃料控制 (上接第

40 页) wavelet neural network to forecast operating reserve require- ments in forward ancillary services market [J].Applied Soft Computing,2011,11(2): 1811-1819 [3]Wei Shen, Xiaopen Guo, Chao Wu, Desheng Wu.Forecasting stock indices using radial basis function neural networks op- timized by artific........