PDF《自动控制原理》

自动控制原理 浙江大学控制系

2016 自动控制原理 Principle of Automatic Control 浙江大学控制科学与工程学系 自动控制原理 浙江大学控制系

2016

第二章 CHAPTER

2 连续时间控制系统的数学模型 Mathematical Model of Continuous -time Control Systems 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 ? 对于复杂系统,利用方块图简化方法求取系统整体传递函数会变得 非常困难(如下图所示系统) ??????

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5 3 ( ) ( ) ( )

1 G G G G G G C s G s R s G G G G G G H G G H G G H G G H G G H G G H = = 问题 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 Samuel Jefferson Mason ? S.

M., EE, MIT,

1947 ? PhD, EE, MIT,

1952 inventing SFG ? Faculty member, MIT, 1949-1974 ? Mason'

s Rule,

1956 ? introduced major innovations in the teaching of electric circuit theory ? an authority on optical scanning systems for printed materials Mason, Samuel J. (July 1956). Feedback Theory - Further Properties of Signal Flow Graphs . Proceedings of the IRE: 920C926. 1921C1974 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 主要内容 ? 信号流图(Signal flow graph) C信号流图定义(Flow-Graph definitions) C信号流图代数(Flow-Graph Algebra) C信号流图分析(General Flow-Graph Analysis) C梅逊增益公式(The Mason Gain Rule) 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 An SFG is a diagram that represents a set of simultaneous equations. 信号流图(SFG) ? 基于信号流图模型,就不再必须使用方块 图简化方法来计算系统变量之间的关系 ? 利用信号流图分析方法可以处理复杂系统 的方块图模型 ? 什么是信号流图? 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 信号流图(SFG)定义 ? 信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络. ) (s G u y ? 系统元件的传递函数可以由连接两个节点的有向支路表示. ? 节点表示系统中的变量. ? 连接两个节点的支路相当于单向乘法器:方向由箭头表示;

乘法 运算因子(传递函数或增益)置于相应的支路上. u s G y ) ( = 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 信号流图(SFG)定义 ? 节点具有两种作用: (1) 对所有来自于流入支路的信号作加法运算;

(2) 将流入信号之和传输给所有的流出支路. x a b c d u v y w bv au w + = ) ( bv au c cw x + = = ) ( bv au d dw y + = = ? 因此,可以利用 SFG 表示输入输出关系 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 x a b c d u v y w ? 上图中,通路 u-w-x 是节点 u 和x之间的前向通路. 通路:由任意具有相同方向的支 路顺序连接构成的支路序列.通 路中各支路增益的乘积叫做通 路增益. 前向通路:从输入节点(源节点) 开始并终止于输出节点(阱节点) 且与其它节点相交不多于一次的 通路.该通路的各增益乘积称 为前向通路增益. 节点有三种类型 (1) 源节点 (独立节点):仅有流出支路 (2) 阱节点 (非独立节点):仅有流入支路 (3) 混合节点 (一般节点) 信号流图(SFG)定义 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 信号流图(SFG)定义 ? 输入节点(源点) 只有输出支路的节点称为输入节点. 它一般表示系统的输入变量. ? 输出节点(阱点) 只有输入支路的节点称为输出节点. 它一般表示系统的输出变量. ? 混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点. 它一般表示相加点、分支点. ? 通路 从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点 所构成的路径称为通路.通路中各支路增益的乘积叫做通路增益. ? 前向通路 是指从输入节点开始并终止于输出节点且与其它节点相 交不多于一次的通路.该通路的各增益乘积称为前向通路增益. 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 通路增益 原始图 x a b y z ? 并联通路 x ab z 等效图 x y 注意:通路增益可正可负. ? 串联通路 信号流图(SFG)代数 x y a b a+b 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 ? 反馈环 原始图 x b y z a u c 等效图 ac u z bc x x y

1 b bc +

1 y b T x bc = = + 注意:通路 增益为: ? 节点消除 回路增益为: -bc 信号流图(SFG)代数 x y b -c x y b -bc 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 C GE B HC E R B = = = ?

1 C GR GHC G C R GH = ? = + ? 反馈环 信号流图(SFG)代数 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 信号流图(SFG)分析 a x a x r x a x a x r x + + = + + =

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2 2 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 ? 一般地,任意复杂系统的 SFG 如图 a 所示. (注意,所有的源节点在系统框图左边,而所有的阱节点在系 统框图右边) x1 x2 y2 y3 y1 信号流图 图a信号流图(SFG)分析 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 ? 内部节点的作用效果可以通过普通的代数处理过程用因子相乘的形 式表示出来,从而得到如图 b 所示的等效图. x1 x2 Ta y3 y1 y2 图b Tb Tc Td Tf Te

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1 2

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1 x T x T y x T x T y x T x T y f c e b d a + = + = + = 其中,T 为相应源节点和阱节点之间的总传输增益 信号流图(SFG)分析 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 ? 对于线性系统,可以利用叠加原理求解由信号流

图表示的系统 输出.即每次考虑一个源节点的作用,然后求出相应的输出信 号,最后系统总的输出信号是各输入作用下系统输出信号之和. ? 传输增益可以通过线性代数处理方法获得. ? 也可以直接根据 SFG 进行分析获得相同的结果. ? 对于由大量线性方程描述的系统,可以通过 观察 SFG 求 得系统输出信号,在这种情况下,信号流图分析方法将有很大 的优势. ? 信号流图可以根据系统微分方程绘制,也可以由系统结构图按 照对应关系得出. 信号流图(SFG)分析 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 由结构图绘制信号流图 结构图: 信号流图: 输入 引出点 方框 输出 相加点 信号线 源节点 混合节点 支路 阱节点 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 ? 在前面图中,注意到总传输增益就是系统传递函数 可以成为获得系统传递函数的一般方法?? 梅逊公式,系统总传输增益为:

1 = ? ? ∑ n i i i M P n: 前向通道总数 其中, 源节点和阱节点之间的第 i 条前向通道 信号流图特征式 信号流图余因子式(特征式中除去与第 i 条前向通路相接触的回 路增益项) i P ? i ? 注意:当前向通道接触所有的回路时,?i 等于 1;

当前向通道不接触所有的回路时,?i 等于 ? . 信号流图(SFG)分析 ∑ ∑ ∑ + ? + ? = ? ? ?

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1 1 L L L ( )

1 2

3 i s i i i ? = ? + + ? + ∑ ∑ ∑ ? 与通道不接触的回路增益 所有个互不接触且与通道不接触的回路增益之积 所有个互不接触且与通道不接触的回路增益之积 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 ? 其中, L1 是单独回路的回路增益 ∑L1 是所有单独回路的回路增益之和 L2 是两个互不接触回路的回路增益的乘积 ∑L2 是每两个互不接触回路的回路增益乘积之和 L3 是三个互不接触回路的回路增益的乘积 ……… n i i i M P = ? ? ∑

1 n: 前向通道总数 ∑ ∑ ∑ + ? + ? = ? ? ?

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1 1 L L L 回路 通路的终点就是通路 的起点,并且与任何其 它节点相交不多于一次 的通路称为回路.回路 中各支路增益的乘积称 为回路增益. 不接触回路 一个信号流图可能有多个回路,各回路之间没有 任何公共节点,则称为不接触回路,反之称为接触回路. 梅逊增益公式 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 梅逊增益公式小结 ? 利用信号流图获得系统整体传递函数,可以不需要化简图,并且可 以依据相应的规则进行计算. ? 这种规则是求解代数方程的克莱姆法则,梅逊公式就来源于利用克 莱姆法则求解线性方程组时,将解的分子多项式及分母多项式与信 号流图进行巧妙联系. ? 借助于梅逊公式,不经任何结构变换,便可以直接求得系统的传递 函数. ∑ ∑ ∑ + ? + ? = ? ? ?

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1 1 L L L n i i i M P = ? ? ∑

1 n: 前向通道数 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 梅逊增益公式小结 ? n 从输入节点到输出节点所有前向通路的条数;

? Pi 从输入节点到输出节点第i条前向通路的增益;

? Δi 在Δ中,将与第i条前向通路相接触的回路的增益除去后所余下的部分,称为余子式;

(或抽去第i条前向通路后剩下的信 号流图的特征式Δ ) ? ∑L1 所有各回路的回路增益之和;

? ∑L2 所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和;

? ∑L3 所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和;

? ………. ? 在回路增益中应包含代表反馈极性的正、负符号. ∑ ∑ ∑ + ? + ? = ? ? ?

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1 1 L L L n i i i M P = ? ? ∑

1 n: 前向通道总数 自动控制原理 浙江大学控制系

2016 例1:求取如下图所示系统的整体传递函数. ? ? ?

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