PDF《虚数的意义》

数学文化/第4卷第3期66 数学教育athematics Education 有人在问答网站 Stack Exchange 提问 : "我一直觉得虚数 (imaginary number) 很难懂.

中学老师说, 虚数就是-

1 的平方根. i = ?1 可是,什么数的平方等于-

1 呢?对-

1 求平方根,计算器直接显示出错! 直到今天,我也没有搞懂.谁能解释,虚数到底是什么?它有什么用?" 很多人在问题下面给出了自己的解释,还推荐了微软公司工程师 Kalid Azad 写的 一篇非常棒的文章《虚数的图解》1 .我读后恍然大悟,发现虚数原来这么简单,一 点也不奇怪和难懂! 下面,我在 Azad 文章的基础上,用自己的语言解释虚数的含义.

1 什么是虚数? 首先,假设有一根数轴,上面有两个反向的点 : +

1 和- 1. 这根数轴的正向部分, 可以绕原点旋转. 显然, 逆时针旋转

180 度, +

1 就会变成- 1. 虚数的意义阮一峰

1 Kalid Azad, A Visual, I n t u i t i v e G u i d e t o Imaginary Numbers, http://betterexplained. com/articles/a-visual- intuitive-guide-to- imaginary-numbers/ , 2007. 数学文化/第4卷第3期67 数学教育athematics Education 这相当于两次逆时针旋转

90 度. 因此,我们可以得到下面的关系式 : ( + 1) * ( 逆时针旋转

90 度)*(逆时针旋转

90 度)=-1有人可能会问,为什么这里要用乘法?其实,这里的乘法运算符只是代表连续进 行的某种操作. 接下来,把+

1 消去,这个式子就变为 : (逆时针旋转

90 度)

2 = -

1 将"逆时针旋转

90 度"记为 i : i2 = -

1 这个式子很眼熟,它就是虚数的定义公式. 所以, 我们知道了, 虚数 i 就是逆时针旋转

90 度, i 不是一个数, 而是一个旋转量.

2 复数的定义 既然 i 表示旋转量,我们就可以用 i 表示任何实数的旋转状态. 将实数轴看作横轴,虚数轴看作纵轴,就构成了一个二维平面.旋转到某一个角 度的任何正实数,必然唯一对应这个平面中的某个点. 只要确定横坐标和纵坐标,比如 ( 1, i ),就可以确定某个实数的旋转量(45 度) . 数学家用一种特殊的方法,表示这个二维坐标 :用+号把横坐标和纵坐标连接 起来.比如,把(1, i ) 表示成

1 + i.这种表示方法就叫做复数(complex number) , 其中

1 称为实数部,i 称为虚数部. 为什么要把二维坐标表示成这样呢 ? 下一节告诉你原因.